Konvex/Rechts-linksseitige Abl < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 Fr 09.01.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Sei [mm] f:[a,b]\to\mathbb{R} [/mm] konvex. Zeigen Sie, dass f in jedem Punkt [mm] x\in(a,b) [/mm] eine rechts- und linksseitige Ableitung besitzt. |
Hallo
Ich zeige dass die Abbildung monoton wachsend ist:
[mm] x\to h(x):=\frac{f(x)-f(\epsilon)}{x-\epsilon}
[/mm]
wobei [mm] x\in [a,b]\cap]-\infty,\epsilon[, [/mm] d.h. [mm] x\in[a,\epsilon[
[/mm]
[mm] -)x
[mm] y=\lambda x+(1-\lamnda)\epsilon [/mm] mit [mm] 0<\lambda<1
[/mm]
Nach Konvexität von f: [mm] \lambda f(x)+(1-\lambda)f(\epsilon)\ge [/mm] f(y)
[mm] \iff \lambda(f(x)-f(\epsilon))\ge [/mm] f(y) - [mm] f(\epsilon)
[/mm]
Setzte [mm] 0<\lambda=\frac{y-\epsilon}{x-\epsilon} [/mm] < 1
Daraus ergibt sich: [mm] \frac{y-\epsilon}{x-\epsilon} (f(x)-f(\epsilon)) \ge f(y)-f(\epsilon)
[/mm]
[mm] \iff \frac{f(x)-f(\epsilon)}{x-\epsilon} [/mm] < [mm] \frac{f(y)-f(\epsilon)}{y-\epsilon}
[/mm]
[mm] \iff [/mm] h(x) < h(y)
Analog hab ich es gezeigt für [mm] x\in [/mm] [a,b] [mm] \cap ]\epsilon,\infty[, [/mm] d.h. [mm] x\in ]\epsilon,b] [/mm] für die rechtsseitige Ableitung.
Nun muss ich noch zeigen, dass h beschränkt ist, wo ich mir unsicher bin.
Für die rechtsseitige Ableitung(d.h. [mm] x\in ]\epsilon,b]) [/mm] kann ich doch h(x) beschränken durch h(b) oder?
Für [mm] x\in ]a,\epsilon[: [/mm] Da wir ein offenes Intervall haben [mm] \exists [/mm] r: [mm] [x-r,x+r]\in]a,\epsilon[
[/mm]
Da hätte ich aber das Problem, dass die obere Schranke von x abhängig ist wenn ich h(x) durch h(x+r) nach oben abschätze.
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 Fr 09.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo sissile
betrachte f(x)=sin(x) x [mm] \in (0,\pi) [/mm] konvex aber nicht monoton steigend
außerdem, wie scjliesst du denn auf die links undd rechrsseitige Ableitung?
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:22 Sa 10.01.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo leduart,
Ich hab ja nicht die Monotonie von f gezeigt(was ich niemals vor hatte) sondern von meiner Hilfsfunktion h(x) mit $ [mm] x\to h(x):=\frac{f(x)-f(\epsilon)}{x-\epsilon} [/mm] $. Für die Linksseitige Ableitung hab ich den Definitionsbereich eingeschränkt auf $ [mm] x\in[a,\epsilon[ [/mm] $ und für die rechtsseitige Ableitung auf $ [mm] x\in ]\epsilon,b] [/mm] $. Wobei man für die Beschränkheit den Definitionsbereich noch eingrenzen kann indem ich die Eckpunkte wegnehme.
Meine Frage galt nun der Beschränkheit von h(x). Wenn ich diese in beiden Fällen zeigen kann dann ist die Funktion h(x) monoton steigend und beschränkt demnaxh existiert der Grenzwert.
Was ist noch unklar?
LG,
sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:43 Sa 10.01.2015 | | Autor: | hippias |
Du betrachstes also $f$ bzw. $h$ auf dem Intervall [mm] $[a,\varepsilon[$. [/mm] Es sei [mm] $x\in [a,\eps[$. [/mm] Wenn Du nun $x$ als konvexe Kombination von $a$ und [mm] $\varepsilon$ [/mm] darstellst und nochmals die Konvexitaet von $f$ ausnutzt, dann folgt die Beschraenktheit von $h$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:14 So 11.01.2015 | | Autor: | sissile |
> Du betrachstes also [mm]f[/mm] bzw. [mm]h[/mm] auf dem Intervall
> [mm][a,\varepsilon[[/mm]. Es sei [mm]x\in [a,\eps[[/mm]. Wenn Du nun [mm]x[/mm] als
> konvexe Kombination von [mm]a[/mm] und [mm]\varepsilon[/mm] darstellst und
> nochmals die Konvexitaet von [mm]f[/mm] ausnutzt, dann folgt die
> Beschraenktheit von [mm]h[/mm].
Hallo hippias,
Ich erhalte so leider keine Abschätzung nach oben. Wenn ich das so mache wie von dir vorgeschlagen:
[mm] x\in[a,\epsilon[
[/mm]
[mm] x=\lambda [/mm] a [mm] +(1-\lambda)\epsilon [/mm] mit [mm] 0<\lambda\le1
[/mm]
[mm] f(x)<\lambda f(a)+(1-\lambda)f(\epsilon)
[/mm]
[mm] \iff f(x)-f(\epsilon)<\lambda (f(a)-f(\epsilon))
[/mm]
Wähle [mm] \lambda=\frac{\epsilon-x}{\epsilon-a}
[/mm]
[mm] \frac{f(x)-f(\epsilon)}{\epsilon-x} [/mm] < [mm] \frac{f(a)-f(\epsilon)}{\epsilon-a}
[/mm]
/*(-1)
[mm] \frac{f(x)-f(\epsilon)}{x-\epsilon} [/mm] > [mm] \frac{f(a)-f(\epsilon)}{a-\epsilon}
[/mm]
[mm] \iff [/mm] h(x)>h(a)
LG,
sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 So 11.01.2015 | | Autor: | hippias |
Stimmt, ich habe einen Vorzeichenfehler gemacht. Aber einen schoen subtilen: Es ist $h(x)= [mm] \frac{f(x)-f(\varepsilon)}{x-\varepsilon}$, $x\in [a,\varepsilon[$. [/mm] Fuer [mm] $x\leq x'<\varepsilon$ [/mm] sei $x'= [mm] \lambda (x-\varepsilon)+ \varepsilon$, [/mm] also [mm] $x'-\varepsilon=\lambda(x-\varepsilon)$. [/mm] Dann ist $h(x')= [mm] \frac{f(x')-f(\varepsilon)}{x'-\varepsilon}\leq \frac{\lambda(f(x)-f(\varepsilon))}{\lambda(x-\varepsilon)}= [/mm] h(x)$. Also ist $h$ fallend.
Das ist falsch! Denn das Vorzeichen des Nenners ist nicht beruecksichtigt worden. Es ist zwar [mm] $f(x')-f(\varepsilon)\leq \lambda(f(x)-f(\varepsilon))$, [/mm] aber [mm] $x'<\varepsilon$, [/mm] sodass tatsaechlich [mm] $\frac{f(x')-f(\varepsilon)}{x'-\varepsilon}\geq \frac{\lambda(f(x)-f(\varepsilon))}{x'-\varepsilon}= \frac{f(x)-f(\varepsilon)}{x-\varepsilon}$.
[/mm]
Das wusstest Du aber, glaube ich, schon.
1. Fall: [mm] $f(a)\geq f(\varepsilon)$. [/mm] Aufgrund der Konvexitaet ist dann auch [mm] $f(x)\geq f(\varepsilon)$ [/mm] fuer alle [mm] $x\in [a,\varepsilon)$, [/mm] sodass [mm] $h\leq [/mm] 0$ ist und damit nach oben beschraenkt ist. In diesem Fall existiert die linksseitige Ableitung.
2. Fall: $f(a)< [mm] f(\varepsilon)$: [/mm] Wie eben folgt $f(x)< [mm] f(\varepsilon)$ [/mm] fuer alle [mm] $x\in [a,\varepsilon)$. [/mm] Und in diesem Fall ist die Behauptung, glaube ich, falsch. Ich definiere [mm] $x_{0}:= [/mm] 0$ und [mm] $x_{n+1}= x_{n}+(\frac{1}{3})^{n}$, [/mm] also [mm] $x_{n+1}= \sum_{i=0}^{n}(\frac{1}{3})^{i}$. [/mm] Analog sei [mm] $y_{0}=0$ [/mm] und [mm] $y_{n+1}= y_{n}+(\frac{1}{2})^{n}$, [/mm] also [mm] $y_{n+1}= \sum_{i=0}^{n}(\frac{1}{2})^{i}$. [/mm] Ferner definiere ich die Intervalle [mm] $I_{n}:= [x_{n},x_{n+1})$, $n\in \IN_{0}$. [/mm] Beachte, dass die [mm] $I_{n}$ [/mm] eine disjunkte Zerlegung des halboffenen Intervalls [mm] $[0,\frac{3}{2})$ [/mm] bilden.
Nun definiere ich auf dem Intervall [mm] $I_{n}$ [/mm] Funktion [mm] $f_{n}:I_{n}\to \IR$ [/mm] durch [mm] $f_{n}(x)= \frac{y_{n+1}-y_{n}}{x_{n+1}-x_{n}}(x-x_{n})+y_{n}= (\frac{3}{2})^{n}(x-x_{n})+y_{n}$ [/mm] (Strecke durch [mm] $(x_{n},y_{n})$ [/mm] und [mm] $(x_{n+1},y_{n+1})$).
[/mm]
Schliesslich sei [mm] $f:[0,\frac{3}{2}]\to \IR$ [/mm] definiert durch $f(x):= [mm] \begin{cases} f_{n}(x) & x\in I_{n}\\ 2 & x= \frac{3}{2}\end{cases}$.
[/mm]
Ich appeliere an die Anschauung, dass $f$ als aus immer steiler verlaufenden Geraden zusammengesetzte Funktion konvex ist, doch [mm] $\lim_{x\to \frac{3}{2}} \frac{f(x)-f(\frac{3}{2})}{x-\frac{3}{2}}= \infty$, [/mm] da [mm] $\geq (\frac{3}{2})^{n}$ [/mm] fuer alle [mm] $n\in \IN$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:03 So 11.01.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Ich muss mir deinen Fall 2 noch genauer anschauen.
Aber ich hab im Internet das entdeckt:
http://www.mathematik.uni-dortmund.de/~tdohnal/TEACH/Seminar_AnaIII_SS2013/Strickmann_Konvexe_Fkt.pdf
Intern S.4 ganz unten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:34 So 11.01.2015 | | Autor: | hippias |
Ja, auf einem offenen Intervall kann ich hinter [mm] $\varepsilon$ [/mm] rutschen und den Quotienten wieder nach oben beschraenken. Damit laesst sich auch Fall 2 behandeln, bzw. eine Fallunterscheidnung wird ueberfluessig. Mein Beispiel funktioniert ja nur, weil es hinter [mm] $\varepsilon$ [/mm] fuer mein $f$ nicht mehr weiterging.
Edit: Dein $f$ ist aber auf einem endlichen abgeschlossenen Intervall definiert. Da bin ich dann skeptisch, ob der Satz unter diesen Voraussetzungen richtig ist.
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