Konvexe Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Di 06.11.2012 | | Autor: | Hellfrog |
| Aufgabe | Seien $I [mm] \subset \IR$ [/mm] ein Intervall und $f : I [mm] \to \IR$ [/mm] eine konvexe Funktion. Zeigen Sie die folgenden
Aussagen:
(a) Für alle [mm] $x_{1}, [/mm] ... , [mm] x_{n} \in [/mm] I$ und alle [mm] $\alpha_{1}, [/mm] ... , [mm] \alpha_{n} \in [/mm] [0, 1]$ mit [mm] $\summe_{k=1}^{n} \alpha_{k} [/mm] = 1$ gilt:
[mm] $f(\alpha_{1}x_{1} [/mm] + ... + [mm] \alpha_{n}x_{n}) \le \alpha_{1}f(x_{1}) [/mm] + ... + [mm] \alpha_{n}f(x_{n}). [/mm] (1)
(b) Ist f strikt konvex und sind [mm] $\alpha_{1}, [/mm] ... , [mm] \alpha_{n} [/mm] > 0$ mit [mm] $\summe_{k=1}^{n} \alpha_{k} [/mm] = 1$, so gilt in (1) genau
dann das Gleichheitszeichen, wenn [mm] x_{1}=x_{2}=...=x_{n}. [/mm] |
hallo
die definition einer konvexen funktion ist ja:
$f(tx + (1-t)y) [mm] \le [/mm] tf(x) + (1-t)f(y)$ mit $x,y [mm] \in [/mm] I, t [mm] \in [/mm] (0,1)$
ich weiß jetzt nicht so richtig wie ich das bei a) anweden kann, der einzige unterschied zur definition von konvex ist das die summe der [mm] \alpha_{i} [/mm] gleich 1 ist und jedes [mm] \alpha [/mm] aus [0,1] sein darf.
meine überlegung war jetzt, dass ich es "induktiv" versuche. also [mm] \alpha_{1}=1 [/mm] und somit alle anderen [mm] \alpha [/mm] = 0, danach [mm] \alpha_{1}=\alpha_{2}=\bruch{1}{2} [/mm] usw
damit zeig ich dann aber auch nur was die definition von konvex schon sagt.
zur b) hab ich mir folgendes überlegt:
ich nehme an, dass die behauptung für ein x aus I nicht gilt, also das gleichheit gilt auch mit [mm] x_{1}=x_{2}=...=x_{n}\not=x_{n+1}.
[/mm]
die summe der [mm] \alpha_{i} [/mm] muss ich dann natürlich bis n+1 laufen lassen. da die koeffizienten der funktionenwerte ja alle fest sind, sollte man die behauptung direkt sehen können.
aber dann hab ich garnicht benutzt das die funktion strikt konvex ist (definition oben mit < statt mit [mm] \le), [/mm] was mich etwas stutzig macht, ob die lösung so korrekt ist.
vielen dank im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:18 Mi 07.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Hellfrog,
> die definition einer konvexen funktion ist ja:
> [mm]f(tx + (1-t)y) \le tf(x) + (1-t)f(y)[/mm] mit [mm]x,y \in I, t \in (0,1)[/mm]
Genau.
Insbesondere [mm] $tx+(1-t)y\in [/mm] I$.
Für die Aufgabe a) ist die Überlegung nützlich, dass die Ungleichung auch für t=0 und t=1 stimmt.
> meine überlegung war jetzt, dass ich es "induktiv"
> versuche. also [mm]\alpha_{1}=1[/mm] und somit alle anderen [mm]\alpha[/mm] =
> 0, danach [mm]\alpha_{1}=\alpha_{2}=\bruch{1}{2}[/mm] usw
> damit zeig ich dann aber auch nur was die definition von
> konvex schon sagt.
Zeige per Induktion nach n: Für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt: Für alle [mm] $x_1,\ldots,x_n\in [/mm] I$ und [mm] $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in[0,1]$ [/mm] mit [mm] $\sum_{k=1}^n\alpha_k=1$ [/mm] ist [mm] $\alpha_1x_1+\ldots+\alpha_nx_n\in [/mm] I$ und die Ungleichung gilt.
Für den Induktionsanfang n=0 ist nichts zu zeigen, da keine solchen [mm] $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ [/mm] mit [mm] $\sum_{k=1}^n\alpha_k=1$ [/mm] existieren.
Für den Induktionsschritt von n nach n+1 setze [mm] $t:=\sum_{k=1}^n\alpha_k=1-a_{n+1}$.
[/mm]
Falls t=0 kannst du die Behauptung direkt überprüfen.
Sei nun [mm] $t\not=0$.
[/mm]
Dann gilt:
[mm] $\alpha_1f(x_1)+\ldots+\alpha_nf(x_n)+\alpha_{n+1}f(x_{n+1})=t*\left(\bruch{\alpha_1}{t}f(x_1)+\ldots+\bruch{\alpha_n}{t}f(x_n)\right)+(1-t)f(x_{n+1})$.
[/mm]
Kommst du damit weiter?
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 Mi 07.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> zur b) hab ich mir folgendes überlegt:
> ich nehme an, dass die behauptung für ein x aus I nicht
> gilt, also das gleichheit gilt auch mit
> [mm]x_{1}=x_{2}=...=x_{n}\not=x_{n+1}.[/mm]
Wenn die Behauptung für gewisse [mm] $x_1,\ldots,x_{n+1}$ [/mm] nicht gilt, warum sollte dann [mm] $x_1=x_2=\ldots=x_n\not=x_{n+1}$ [/mm] gelten?
> da die koeffizienten der funktionenwerte ja
> alle fest sind, sollte man die behauptung direkt sehen
> können.
Wie?
> aber dann hab ich garnicht benutzt das die funktion strikt
> konvex ist (definition oben mit < statt mit [mm]\le),[/mm]
Und in der Definition von oben ist "für [mm] $x\not=y$" [/mm] zu ergänzen. Für $x=y$ gilt Gleichheit und nicht "$<$".
Es sind zwei Richtungen zu zeigen. Dass für [mm] $x_1=\ldots=x_n$ [/mm] Gleichheit in (1) gilt, kannst du direkt nachprüfen.
Für die andere Richtung führe wieder Induktion nach n. Behandle die Fälle n=0 und n=1 separat.
Um von [mm] $n\ge1$ [/mm] auf n+1 zu schließen arbeite mit t definiert wie in a). Am besten wartest du mit diesem Teil, bis du a) gelöst hast.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:16 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Hellfrog |
hallo
vielen dank für die hilfe, hat echt sehr geholfen (besonders beim induktionsschritt). werde es nachher mal ordentlich aufschreiben und falls es noch fragen gibt nochmal hier melden :)
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