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| Aufgabe | Bestimme für folgende Funktionen von [mm] R ^n [/mm] nach R, für welche Parameter (a [mm] \in R^n [/mm], b [mm] \in R [/mm], Q [mm] \in R^{nxn} [/mm] symmetrisch, S [mm] \subset R^n [/mm]) sie auf ihrem Defintionsbereich konvex, konkav oder weder noch sind:
a) f(x) = $a^Tx+b$
b) f(x) = [mm] $x^T [/mm] Qx+a^Tx + b$
c) f(x) = [mm] log($b-a^T [/mm] x$)
d) f(x) = ||x-a||$^2$
e) i(x) = 0 (x [mm] $\in$ [/mm] S), [mm] $\infty$ [/mm] (x [mm] $\not\in$ [/mm] S) |
Hallo,
zunächst wollte ich fragen, was es für Kriterien für Konvexität gibt. Ich habe nur das über die (positiv definite) Hessematrix und eine Formel für den Gradienten gefunden. Nun wollte ich von obigen Funktionen den Gradienten berechnen, habe das aber nur für a) geschafft (dieser ist a). Wie kann man sonst an diese Aufgabe rangehn?
Wäre sehr nett, wenn mir jemand helfen könnte.
Grüße, Manuela
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 Sa 07.04.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
ob dir das wirklich weiterhilft, weiß ich nicht, aber ich dachte mir, hinschreiben schadet ja nicht:
f konvex, wenn [mm] f''(x)\ge0
[/mm]
f konkav, wenn [mm] f''(x)\le0
[/mm]
MfG
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Naja, aber das kann man nur für Funktionen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] verwenden, aber hier sind sie ja n-dimensional.. Das entsprechende Kriterium dazu ist ja das mit der Hesse-Matrix, aber ich weiß nicht, wie ich bei so "unkonkreten" Funktionen die Hesse-Matrix aufstellen soll....
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:15 Mo 09.04.2007 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Manu_Chemnitz!
> Naja, aber das kann man nur für Funktionen von [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IR[/mm]
> verwenden, aber hier sind sie ja n-dimensional.. Das
> entsprechende Kriterium dazu ist ja das mit der
> Hesse-Matrix, aber ich weiß nicht, wie ich bei so
> "unkonkreten" Funktionen die Hesse-Matrix aufstellen
> soll....
Ich kenn mich da leider gerade auch nicht so gut aus, aber vielleicht geht es irgendwie mithilfe von Eigenwerten? Haben nicht positiv definite Matrizen nur positive Eigenwerte (oder irgend so eine Regel gibt es doch), und vielleicht kann man bei deinen Aufgaben einfacher die Eigenwerte berechnen als die Matrizen...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Mi 11.04.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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