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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:17 Mi 09.11.2011 | | Autor: | Loko |
| Aufgabe | Konvexe Hülle von A berechnen, wobei
A = [mm] \{ (x,0) \in \IR / -1 < x < 1\} \cup \{(0,1)\} [/mm] |
Hallo :)
Wie kann man formal eine Konvexe Hülle berechnen?
Ich hab hier die zwei Definitionen:
conv(A) = [mm] \{\summe_{i=1}^{n} \lambda_{i} a_{i} | \lambda_{i} \ge 0, a_{i} \in A, \summe_{i=1}^{n} \lambda_{i} = 1\}
[/mm]
und
conv(A) ist der Schnitt aller A umschließender konvexer Mengen.
Dadurch kann ich mir auch aufzeichnen, wie die Menge conv(A) aussehen müsste, aber die Berechnung über die Definitionen bekomm ich nicht hin.
Das wäre doch dann ein Pyramide mit Basis [mm] \{ (x,0) \in \IR / -1 < x < 1\} [/mm] und Spitze [mm] \{(0,1)\} [/mm] oder?
Viele Grüße!
Loko
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:06 Do 10.11.2011 | | Autor: | Loko |
| Aufgabe | | oder reicht eine Beschreibung: |
Wenn ich es so aufbaue:
[mm] conv(\{a,b\}) [/mm] = [mm] \{\lambda a + (1-\lambda)b | 0 \le \lambda \le 1\} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] conv(A) ist die Vereinung aller Verbingungsstrecken der Basis [mm] \{(x,0) \in \IR | -1 < x < 1\} [/mm] zum Punkt [mm] \{(0,1)\} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] conv(A) ist ein Dreieck mit offenen Seiten.
Und dazu noch eine Skizze.
Wisst ihr wie ich es formaler schreiben kann?
Viele Grüße :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:39 Do 10.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Das Dreieck von dem Du sprichst schreibe erstmal hin:
$\Delta:=\{(x,y): y \ge 0, -1<x<1, y<x+1,y<1-x \}$.
Dann ist
(1) $A \subseteq \Delta}$.
Zeige dann:
(2) \Delta ist konvex.
Damit haben wir schon mal:
(3) $conv(A) \subseteq \Delta$
Nun nimm Dir einen Punkt (x_0,y_0) \in \Delta her ( für das Folgende mach eine Skizze !)
Bestimme die Gerade durch (0,1) und (x_0,y_0). diese Gerade schneidet die x-Achse in einem Punkt (x_1,0) \in A. Bestimme x_1.
Nun sei S die Verbindungsstrecke von (0,1) und (x_1,0). Es gilt (x_0,y_0) \in S \subseteq conv(A).
Also : (x_0,y_0) \in conv(A).
Zusammen mit (3) haben wir dann: \Delta=conv(A).
FRED
Zeige
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(Frage) überfällig | | Datum: | 17:32 Fr 11.11.2011 | | Autor: | Loko |
Erstmal vielen Dank Fred! :)
Ich hab es jetzt auf die Weise von Fred versucht.
Dazu noch, kann es sein, dass bei der Menge für das Dreieck der Punkt (0,1) fehlt, sowie die Basis [mm] \{(x,0)|-1
Also ich habe X (die Menge für das Dreieck) wie folgt definiert:
X = [mm] \{(x,y)| y\ge 0, -1
Das A [mm] \subseteq [/mm] X ist, ist dann ja klar.
Jetzt aber dazu, dass X konvex ist:
zz.: [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge \lambda \in \IR, 0\ge \lambda \ge [/mm] 1 gilt: [mm] \lambda [/mm] a + [mm] (a-\lambda)b \in [/mm] X.
Ich hab es dann für [mm] a:=(a_{1}, a_{2}), b:=(b_{1}, b_{2}) [/mm] die [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] Werte einzeln versucht:
[mm] \lambda a_{1} [/mm] + [mm] (1-\lambda)b_{1} [/mm] = [mm] \lambda(a_{1}-b_{1})+b_{1}.
[/mm]
Dann eine Fallunterscheidung:
[mm] (a_{1}-b_{1})\ge [/mm] 0: [mm] \lambda(a_{1}-b_{1})+b_{1}\ge (a_{1}-b_{1})+b_{1} [/mm] = [mm] a_{1} \in X_{1} [/mm] (alle [mm] x_{1}-Werte).
[/mm]
[mm] (a_{1}-b_{1})\le [/mm] 0: [mm] \lambda(a_{1}-b_{1})+b_{1}\ge \lambda(b_{1}-b_{1})+b_{1} [/mm] = [mm] b_{1} \in X_{1}.
[/mm]
Für die [mm] x_{2} [/mm] Werte wird das ganze allerdings sehr frimelig...
Denn je nachdem ob [mm] x_{1}\ge [/mm] 0 oder [mm] \le [/mm] 0 ist dann [mm] x_{2} [/mm] ja [mm] 1-x_{1} [/mm] bzw. [mm] 1+x_{1}.
[/mm]
Gibts einen schöneren Weg, den ich gerade nicht sehe?
Und ist das, was ich mir hier zurecht schreibsel bisher richtig?
Viele Grüße!!
Und vielen Dank schön mal für die Hilfe!
Loko
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 Di 15.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Sa 12.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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