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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:10 Mo 12.12.2011 | | Autor: | Torste |
| Aufgabe | | Ist K [mm] \subseteq [/mm] C konvex, so ist auch C:={r*x|r>0, x [mm] \in [/mm] K} konvex. |
Hallo,
obige Aufgabe wurde mir gestellt - mit dem Hinweis, dass sie nicht so einfach wie oft gedacht zu beweisen sei.
Anschaulich ist mir die Aussage klar, aber einen Beweis habe ich nicht. Wir müssen ja zeigen, dass wenn wir zwei Elemente aus C haben, also z.B [mm] r_1*x_1 [/mm] und [mm] r_2*x_2, [/mm] dass dann auch alle Elemente der Strecke [mm] r_1*x_1r_2*x_2 [/mm] in C liegen. Als Tipp wurde uns gesagt man solle das auf die Strecke [mm] x_1x_2 [/mm] zurückbrechen, aber damit weiß ich nichts anzufangen!?
Hat da jmd. ein Idee?
Das wäre echt toll!
Grüße und danke im voraus
Torste
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:24 Di 13.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
r ist zwar beliebig, konvex ist die menge nur für festes r >0 aber fest, d,h, es gibt nicht [mm] r_1 [/mm] und [mm] r_2 [/mm] wie du schreibst.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:07 Di 13.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo
> r ist zwar beliebig, konvex ist die menge nur für festes
> r >0 aber fest, d,h, es gibt nicht [mm]r_1[/mm] und [mm]r_2[/mm] wie du
> schreibst.
dann wäre es nicht sein Fehler, sondern ein Fehler in der Aufgabenstellung. Denn
[mm] $$\{r*x| r > 0, x \in K\}$$
[/mm]
beschreibt in der Tat gerade die Menge aller Elemente [mm] $e\,,$ [/mm] so dass [mm] $e=r*x\,$ [/mm] mit einem $r > [mm] 0\,$ [/mm] und einem $x [mm] \in [/mm] K$ geschrieben werden kann, oder anders gesagt:
die Menge aller Elemente [mm] $e\,,$ [/mm] so dass es ein $r > [mm] 0\,$ [/mm] und ein $x [mm] \in [/mm] K$ gibt, so dass [mm] $e=r*x\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 01:43 Di 13.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Leduart,
> Hallo
> r ist zwar beliebig, konvex ist die menge nur für festes
> r >0 aber fest, d,h, es gibt nicht [mm]r_1[/mm] und [mm]r_2[/mm] wie du
> schreibst.
> gruss leduart
für festes $r > [mm] 0\,$ [/mm] stimmt das sicherlich auch, aber es wurde schon richtig interpretiert: Laut Aufgabe sind die Betrachtungen durchaus mit [mm] $r_1, r_2 [/mm] > 0$ durchzuführen. Und sofern ich in meiner Antwort nicht irgendwo etwas übersehe oder gepatzt habe, ist die Aufgabe auch in der vorgegebenen Formulierung richtig gestellt und lösbar.
Ich schließe natürlich keineswegs aus, dass ich nicht selbst Fehler begangen habe - gerade zu so später Stunde kann das schnell mal passieren...
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:33 Di 13.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ist K [mm]\subseteq[/mm] C konvex, so ist auch [mm] $C:=\{r*x|r>0, x \in K\}$ [/mm]
> konvex.
warum wird da [mm] $C\,$ [/mm] zweimal verwendet? Das letzte [mm] $C\,$ [/mm] nenne ich nun einfach [mm] $P\,,$ [/mm] also
[mm] $$P:=\{r*x|r>0, x \in K\}\,.$$ [/mm]
>
>
> Hallo,
>
> obige Aufgabe wurde mir gestellt - mit dem Hinweis, dass
> sie nicht so einfach wie oft gedacht zu beweisen sei.
> Anschaulich ist mir die Aussage klar, aber einen Beweis
> habe ich nicht. Wir müssen ja zeigen, dass wenn wir zwei
> Elemente aus C haben, also z.B [mm]r_1*x_1[/mm] und [mm]r_2*x_2,[/mm] dass
> dann auch alle Elemente der Strecke [mm]r_1*x_1r_2*x_2[/mm] in C
> liegen. Als Tipp wurde uns gesagt man solle das auf die
> Strecke [mm]x_1x_2[/mm] zurückbrechen, aber damit weiß ich nichts
> anzufangen!?
> Hat da jmd. ein Idee?
> Das wäre echt toll!
Seien [mm] $r_1, r_2 [/mm] > 0$ und [mm] $x_1,x_2 \in [/mm] K$ sowie $0 [mm] \le \lambda \le 1\,.$ [/mm] Dann ist zu zeigen
[mm] $$\lambda*(r_1x_1)+(1-\lambda)*r_2x_2 \in P\,.$$
[/mm]
Das ist per Definitionem genau dann der Fall, wenn es $R > 0$ und $X [mm] \in [/mm] K$ gibt mit
[mm] $$\lambda*(r_1x_1)+(1-\lambda)*r_2x_2=R*X.$$
[/mm]
Setzen wir mal [mm] $R:=\lambda*r_1+(1-\lambda)*r_2 [/mm] > 0$ (beachte: $R > [mm] 0\,$ [/mm] gilt, weil nicht gleichzeitig [mm] $\lambda$ [/mm] und [mm] $1-\lambda$ [/mm] verschwinden können, und unter Beachtung von [mm] $r_1,r_2 [/mm] > 0$):
Dann wäre nur noch
[mm] $$X=\frac{\lambda*r_1}{\lambda*r_1+(1-\lambda)*r_2}*x_1+\frac{(1-\lambda)*r_2}{\lambda*r_1+(1-\lambda)*r_2}*x_2 \in [/mm] K$$
zu begründen.
(Um Missverständnisse zu vermeiden: Ich meine damit, dass Du für
[mm] $$X:=\frac{\lambda*r_1}{\lambda*r_1+(1-\lambda)*r_2}*x_1+\frac{(1-\lambda)*r_2}{\lambda*r_1+(1-\lambda)*r_2}*x_2$$
[/mm]
begründen musst, dass $X [mm] \in [/mm] K$ gilt.)
Das solltest Du hinbekommen. (Denn [mm] $x_1,x_2$ [/mm] waren ja Elemente der konvexen Menge [mm] $K\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:16 Di 27.12.2011 | | Autor: | Torste |
Vielen Dank für die ganze Arbeit...ich hatte ganz vergessen mich nochmal einzuloggen und zu bedanken, denn als ich den Beitrag gelesen hatte war alles so klar gewesen!! Vielen Dank also dafür und einen guten Rutsch!!
Gruß
Torste
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