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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:24 Sa 14.01.2006 | | Autor: | Ashvini |
| Aufgabe | (a) Seien I [mm] \subset \IR [/mm] offen und f: I [mm] \to \IR [/mm] konvex. Beweisen Sie, dass f: : I [mm] \to \IR [/mm] steht ist.
(b) Seien I [mm] \subset \IR [/mm] offen und f,g: I [mm] \to \IR [/mm] stetig und differenzierbar. Seien a,b [mm] \in \IR [/mm] so, dass [a,b] [mm] \subset [/mm] I. Es gelte (f'(x))² + (g'(x))² [mm] \not= [/mm] O [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] (a,b) und g(a) [mm] \not= [/mm] g(b). Zeigen Sie, dass dann ein [mm] \delta \in [/mm] (a,b) existiert, für welches gilt [mm] \bruch{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} [/mm] = [mm] \bruch{f' (\delta)}{g'(\delta)}
[/mm]
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Hallo ihr Lieben!
Beschäftige mich gerad mit der obrigen Aufgaben, aber irgendwie komme ich net auf die Lösung. Also wenn f ein offenes Intervall ist, ist die Funktion genau dann kovex, wenn f''(x) [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] I oder? Aber wie kann ich damit zeigen, dass die Funktion stetig ist?
Und bei Aufgabenteil habe ich überhaupt keine Idee..
Wäre echt dankbar für irgendwelche Ansätze!
Danke im Voraus!
Lg,
Ashvini
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:45 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Zeige direkt aus der Konvexitätsbedingung, dass für alle $x,y [mm] \in [/mm] (a,b) [mm] \subset [/mm] I$ mit $x [mm] \ne [/mm] y$ gilt:
$ [mm] \frac{f(a) - f(x)}{a-x} \le \frac{f(y) - f(x)}{y-x} \le \frac{f(b) - f(y)}{b-y}$.
[/mm]
Daraus siehst, dass die rechts- und linksseitigen Differentialquotienten an jeder Stelle $x [mm] \in [/mm] (a,b)$ existieren. Daraus folgt die Stetigkeit in jedem Punkt $x [mm] \in [/mm] (a,b)$.
Die zweite Aussage findest du unter dem Stichwort "verallgemeinerter Mittelwertsatz" im Netz...
Liebe Grüße
Stefan
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