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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 Do 16.03.2006 | | Autor: | Singapur |
Mein Problem besteht darin, dass ich nicht genau mit dieser Formulierungklarkomme und nicht weiss wie ich das erklären soll, da ich ein Referat über Konvexität halten werde.
Dabei heisst es immer:
"
In der Analysis heißt eine Funktion f von einem Intervall I (oder allgemeiner einer konvexen Teilmenge C eines reellen Vektorraums) nach konvex, wenn für alle x, y aus I (bzw. aus C) und t zwischen 0 und 1 gilt:
f(tx+(1-t)y)<=tf(x)+(1-t)f(y)
"
Mein Problem besthet jetzt darin das ich die Formel nicht so ganz versthe. Mein größtes Problem besteht in dem t. Woher kommt das t? oder welchen wert von t soll ich nehmen?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 Do 16.03.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo Singapur,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> " In der Analysis heißt eine Funktion f von einem Intervall
> I (oder allgemeiner einer konvexen Teilmenge C eines
> reellen Vektorraums) nach konvex, wenn für alle x, y aus I
> (bzw. aus C) und t zwischen 0 und 1 gilt:
>
> f(tx+(1-t)y)<=tf(x)+(1-t)f(y) "
>
> Mein Problem besthet jetzt darin das ich die Formel nicht
> so ganz versthe. Mein größtes Problem besteht in dem t.
> Woher kommt das t? oder welchen wert von t soll ich
> nehmen?
Du mußt es dir so vorstellen, dass die Gleichung für alle t zwischen 0 und 1 erfüllt sein soll. Machen wir uns aber erst einmal schrittweise klar, was auf den beiden Seiten jeweils steht:
1) [mm]f\left( tx+(1-t)y\right)[/mm] mit $t [mm] \in [/mm] (0,1)$:
1a) Was heißt [mm]tx+\left( 1-t\right) y[/mm]?
Wenn $t=0$ ist, dann ist dieser Ausdruck gerade gleich $y$, wenn $t=1$ ist, dann ist dieser Ausdruck gleich $x$. Und für jeden Wert von t zwischen 0 und 1 liegt der Punkt $tx+(1-t)y$ auf der Geraden zwischen dem Wert x und dem Wert y (also auf der x-Achse!). Mach dir das mit Beispielen am besten grafisch klar! Damit ist dann schon ein großer Schritt getan.
1b) Was ist also [mm]f(tx+(1-t)y)[/mm]?
-> Das kannst du dir jetzt mal selbst überlegen!
2) [mm] t f(x)+(1-t)f(y)[/mm] mit mit $t [mm] \in [/mm] (0,1)$:
Hier haben wir dasselbe wie in 1a), nur auf Funktionswerte angewendet. Auch das kannst du dir vielleicht jetzt selbst erklären?
Es soll nun gelten: Die linke Seite (1) soll kleiner oder gleich der rechten Seite (2) sein. Das bedeutet, der Funktionswert an einer (jeder!) Stelle zwischen x und y solle kleiner oder gleich dem entsprechenden Wert auf der Geraden sein, die die Punkte (x,f(x)) und (y,f(y)) verbindet! (Wie gesagt: am besten grafisch nachvollziehen!) Das soll für alle beliebigen Werte x und y gelten. Also bedeutet Konvexität, dass der Graph insgesamt "nach unten gebogen ist".
Falls du nicht weiter kommst, kannst du gern nachfragen. Aber schließlich soll es ja ein eigener Vortrag von dir werden, da kann ich dir nicht gleich alles erzählen! 
Viele Grüße
Astrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:08 Do 16.03.2006 | | Autor: | Singapur |
vielen dank für die schnelle hilfe habs jetzt begriffen. aber ich glaub ohne dich hätte ich das nicht so hinbekommen.
also ich fass noch mal zusammne was ich jetzt darunter verstehe.
das also die gerade damit beschrieben wird die unter dem graphen liegt und im fall von einer linkskrümmung unter dem geraden liegt.und somit die funktion klieiner sind als die des Graphen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:59 Do 16.03.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo Singapur,
also deine Beschreibung verstehe ich jetzt nicht so... (zumal sie so ganz ohne Kommas und Satzzeichen sehr schwer zu lesen ist...)
Zur Verdeutlichung schau dir dieses Bild an:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Rot ist die Funktion, grün die Verbindungsgerade.
In dieser Skizze ist (x,f(x))=(-1,1) und (y,f(y))=(2,4). Die Formel sagt dir, dass der der Graph der Funktion im Bereich von x und y immer unterhalb der Verbindungsgeraden liegt. (Und das soll dann für alle x und y gelten usw. ...)
Grüße
Astrid
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Mo 20.03.2006 | | Autor: | Singapur |
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
Konkave Funktionen liegen unterhalb der Tangente, also f(x+h)<=f(x)+hf’(x) , wobei für streng konkav f(x+h)<=f(x)+hf’(x) für h ungleich 0 gilt .
Meine Frage ist jetzt was dieses h ist? Kann ich mir den Wert von h aussuchen? oder ist der festgelegt. Oder vielleicht kann einer das mit einem Bild anschaulicher zeigen was h ist.
Vielen Dank für hoffentlcih bald folgende Hilfe.
mfg
Singapur
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:06 Mo 20.03.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Singapur!
> Konkave Funktionen liegen unterhalb der Tangente, also
> f(x+h)<=f(x)+hf’(x) , wobei für streng konkav
> f(x+h)<=f(x)+hf’(x) für h ungleich 0 gilt .
>
>
> Meine Frage ist jetzt was dieses h ist? Kann ich mir den
> Wert von h aussuchen? oder ist der festgelegt. Oder
> vielleicht kann einer das mit einem Bild anschaulicher
> zeigen was h ist.
So wie du das hier angepackt hast ist Konvexität eine lokale Eigenschaft, d. h. sie gilt in einer hinreichend kleinen Umgebung des zu untersuchenden Punktes. Man müßte also sagen 'für festes x und genügend kleine h' mit der obigen Ungleichung ist die Kurve bei x konvex.
Die Extremwerte, die du in der Analysis bestimmst, sind ja zunächst auch lokale Extrema.
Ein Kreis dagegen ist von innen betrachtet überall konvex! Für den ist es eine globale Eigenschaft. Untersuch mal den Sinus bei [mm] \bruch{\pi }{4}, [/mm] wie wäre es da mit dem h?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
>
> Vielen Dank für hoffentlcih bald folgende Hilfe.
>
> mfg
> Singapur
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also ist h eine unendlich kleine zahl? so etwas wie epsilonnull?
wenn ja ist sie positiv oder negativ? oder beides da einmal annäherung von unten und einmal von oben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mi 22.03.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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