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| Aufgabe | | (a) Sei [mm] I\subset\IR [/mm] ein offenes Intervall und sei f: [mm] I\to\IR [/mm] konvex. Zeige, dass f in jedem kompakten Teilintervall von I eine Lipschitz- Bedingung erfüllt und damit in I stetig ist. |
Hallo zusammen! Also ich betrachte ein beliebiges kompaktes Intervall [mm] I_k:=[a,b]\subset [/mm] I.
für [mm] x_1, x_2, x_3 \in I_k [/mm] und [mm] x_1< x_2< x_3 [/mm] gilt ja wegen der Konvexität von f:
[mm] \bruch{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\le \bruch{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}
[/mm]
Ich habe mir gedacht, dass dieser Quotient betragsmäßig an den Intervallgrenzen, also einer Umgebung von a oder b, am größten ist. Also habe ich die Lipschitzkonstante gewählt als:
[mm] L:=max\{|f`(a)|, |f`(b)|\} [/mm] (Das soll Ableitung bedeuten. f´(x)<-- auf diese Weise wird es komischerweise nicht in den Betragsstrichen angezeigt.. wieso?!)
Dann gilt ja für alle [mm] x_1, [/mm] x [mm] \in I_k [/mm] und [mm] x_1
[mm] \bruch{|f(x)-f(x_1)|}{|x-x_1|}\le [/mm] L [mm] \gdw |f(x)-f(x_1)|\le L*|x-x_1|
[/mm]
Anschliessend habe ich leider festgestellt, dass in der Aufgabenstellung gar nicht erwähnt wurde, dass f differenzierbar ist. Folgt das aus der Konvexität? Ansonsten wäre der Beweis ja hinfällig!
Grüße, Kulli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 Di 24.04.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> (a) Sei [mm]I\subset\IR[/mm] ein offenes Intervall und sei f:
> [mm]I\to\IR[/mm] konvex. Zeige, dass f in jedem kompakten
> Teilintervall von I eine Lipschitz- Bedingung erfüllt und
> damit in I stetig ist.
> Hallo zusammen! Also ich betrachte ein beliebiges
> kompaktes Intervall [mm]I_k:=[a,b]\subset[/mm] I.
>
> für [mm]x_1, x_2, x_3 \in I_k[/mm] und [mm]x_1< x_2< x_3[/mm] gilt ja wegen
> der Konvexität von f:
>
> [mm]\bruch{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\le \bruch{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}[/mm]
Hmm, ich würde eher diese übliche Definition nehmen: Betrachte die gerade Strecke, die die Punkte [mm] $(x_1,f(x_1))$ [/mm] und [mm] $(x_3,f(x_3))$ [/mm] verbindet:
[mm] s(x) := f(x_1) + \bruch{f(x_3) -f(x_1)}{x_3-x_1} (x-x_1) [/mm] .
f ist konvex auf [mm] $[x_1,x_3]$, [/mm] wenn $f(x) [mm] \le [/mm] s(x)$ für [mm] $x_1\le [/mm] x [mm] \le x_3$ [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:53 Mi 25.04.2012 | | Autor: | fred97 |
Schau mal hier:
[mm] http://www.math.uni-sb.de/ag/wittstock/lehre/WS00/analysis1/Kap_2_Z.pdf
[/mm]
FRED
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Hallo, danke für den Hinweis Rainer, habe damit versucht eine geeignete Abschätzung zu finden, habe aber jetzt aufgegeben, da mir das zu viel wursterei wurde. Um so mehr freu ich mich über den Link Fred! Ein Hoch auf dich!
Grüße, kulli
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