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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:52 So 22.04.2012 | | Autor: | meely |
| Aufgabe | Man berechne das Faltungsprodukt der beiden Funktionen [mm]f(x)=ax, g(x)=e^{-|x|}[/mm]
Lösung: (f*g)(x)=2ax |
Hallo liebes Forum :)
Ich beschäftige mich zur Zeit mit Faltungen und bin auf ein kleines Problem gestoßen. Leider komme ich nicht auf das richtige Ergebnis.
Variante 1:
[mm](f*g)(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{ f(\epsilon)g(x-\epsilon)}d\epsilon}[/mm]
--> [mm](f*g)(x)=a*\integral_{-\infty}^{\infty}{ \epsilon*e^{-|x-\epsilon|}d\epsilon}= a*\integral_{-\infty}^{0}{ \epsilon*e^{-x+\epsilon}d\epsilon}+a*\integral_{0}^{\infty}{ \epsilon*e^{x-\epsilon}d\epsilon}
[/mm]
[mm]= a*e^{-x}\integral_{-\infty}^{0}{ \epsilon*e^{\epsilon}d\epsilon}+a*e^{x}\integral_{0}^{\infty}{ \epsilon*e^{-\epsilon}d\epsilon}
[/mm]
beide integrale partiell integriert ergibt:
[mm]= a*e^{-x}(e^{\epsilon}(\epsilon-1))+a*e^{x}(e^{-\epsilon}(-\epsilon-1))[/mm]
wobei der linke Term von [mm]-\infty[/mm] bis 0 geht und der rechte von 0 bis [mm]\infty[/mm]"geht" (wusste nicht wie ich das am besten in latex tippe).
[mm]= a*e^{-x}(-1-0)+a*e^{x}(0-(-1))=-a*e^{-x}-a*e^{x}[/mm]
jedoch widerspricht das der gegeben Lösung :(
Variante 2:
[mm](f*g)(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{ f(x-\epsilon)g(\epsilon)}d\epsilon}[/mm]
--> [mm] (f*g)(x)=a*\integral_{-\infty}^{\infty}{ (x-\epsilon)*e^{-|\epsilon|}d\epsilon}
[/mm]
rechne ich nun diese variante weiter komme ich zum Schluss auf das Ergebnis:
(f*g)(x)=2a(x+1)
dieses gefällt mir schon besser, allerdings sieht es auch noch nicht korrekt aus :(
Könnt ihr mir vielleicht die Augen öffnen und meinen Fehler zeigen ?!
Liebe Grüße, Meely :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:51 So 22.04.2012 | | Autor: | meely |
Habe das Problem selbst lösen können :D
habe mich bei der Integration vertan. Vatriante 2 hat zum gewünschten Ergebnis geführt.
Nun frage ich mich allerdings warum man die Faltung in Wikipedia als
[mm](f*g)(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{ f(\epsilon)*g(x-\epsilon)d\epsilon}[/mm]
und in meinem Skriptum:
[mm](f*g)(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{ f(x-\epsilon)*g(\epsilon)d\epsilon}[/mm]
macht das keinen Unterschied ?!
Liebe Grüße eure Meely
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:56 So 22.04.2012 | | Autor: | donquijote |
> Habe das Problem selbst lösen können :D
>
> habe mich bei der Integration vertan. Vatriante 2 hat zum
> gewünschten Ergebnis geführt.
>
> Nun frage ich mich allerdings warum man die Faltung in
> Wikipedia als
>
> [mm](f*g)(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{ f(\epsilon)*g(x-\epsilon)d\epsilon}[/mm]
>
> und in meinem Skriptum:
>
> [mm](f*g)(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{ f(x-\epsilon)*g(\epsilon)d\epsilon}[/mm]
>
> macht das keinen Unterschied ?!
>
> Liebe Grüße eure Meely
>
Da die Faltung kommutativ ist, können die Rollen von f und g vertauscht werden. Zum Beweis kannst du die Substitution [mm] t=x-\epsilon [/mm] betrachten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:03 So 22.04.2012 | | Autor: | meely |
Vielen Dank für die unglaublich schnelle Antwort :)
Ah OK verstehe..
Aber warum kommt dann bei meiner ersten Variante [mm]-a*e^x-a*e^{-x}[/mm] herraus ? :(
das ist ja nicht das selbe.. ?!
Liebe Grüße :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:16 So 22.04.2012 | | Autor: | donquijote |
Bei Variante 1 musst du das Integrationsintervall in die Bereiche [mm] \int_{-\infty}^{x}... [/mm] und [mm] \int_x ^{\infty}.. [/mm] aufteilen, ensprechend der Fallunterscheidung [mm] x-\epsilon>0 [/mm] und [mm] x-\epsilon<0.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:18 So 22.04.2012 | | Autor: | meely |
Ach Gott x) vielen Dank .. daran hab ich gar nicht mehr gedacht. Hab's verstanden :)
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