Konwergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Do 08.12.2005 | | Autor: | Freak84 |
Hi Leute
Ich soll folgende Reihe auf Konwergenz prüfen. Allerdings habe ich keine ahnung wie ich dieses machen soll.
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n+2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n+3} [/mm] + .... + [mm] \bruch{1}{2n}
[/mm]
Meiner Meinung nach, müsste diese Reihe Differgieren, da die reihe
[mm] b_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] soweit ich weiß ja auch Differgiert und die beiden reihen sich ja sehr ähnlich sich.
Bitte um Hilfe
Vielen Dank
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Hallo Freak!
Bei Deinem dargestellten Term handelt es sich ja um eine endliche Summe. Daher wird er auch einen endlichen Summenwert haben, also konvergieren.
Kann es sein, dass die Aufgabenstellung darin besteht, einen geschlossenen Term für diesen Summenausdruck zu ermitteln?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Do 08.12.2005 | | Autor: | Freak84 |
Also die Aufgabenstellung lautet:
Zeigen Sie die Konvergenz der Folge ( [mm] a_{n} [/mm] )
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Hallo Freak 84,
> Zeigen Sie die Konvergenz der Folge ( [mm]a_{n}[/mm] )
Das Endscheidende ist, dass [mm] a_n [/mm] eine Folge und keine Reihe!!!
Die Konvergenz zeigst du am einfachsten, indem du die Beschränktheit und die Monotonie von [mm] a_n [/mm] zeigst:
i) Beschränktheit:
[mm] a_n > n*\frac{1}{2n}=\frac{1}{2} [/mm] (untere Schranke)
[mm] a_n < n*\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}\le 2[/mm] (obere Schranke)
ii) Monotonie
[mm]a_{n+1}-a_{n}=\frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{n+1} =\frac{n+1}{(2n+2)(2n+1)(n+1)} > 0 [/mm]
Ich hoffe, dass ich dir damit weitergeholfen habe
Gruß Samuel
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