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| Aufgabe | Die Punkte A(3/-2/0), B(4/6/3), C(6/2/-1) sind die Basiseckpunkte einer dreiseitigen Pyramide ABCS mit der Höhe h=9.
Welche Koordinaten hat die Spitze S, die senkrecht genau "über" oder "unter" dem Fußpunkt F mit den Koordinaten (11/-2/19) liegt (2 Möglichkeiten) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo liebe Experten, um einem jungen Bekannten zu helfen, wollte ich mich ein wenig einarbeiten in die Materie, mit der ich seit vielen Jahren nichts mehr zu tun habe. Nun brauche ich wohl selbst Hilfe.
Aufgabe a war den Flächeninhalt der Grundfläche zu berechnen, da habe ich 15 [FE] herausgekommen, falls das jemand nachrechnet, wäre ich interessiert ob das korrekt ist.
In Anlehnung an den Artikel "Höhe einer Pyramide" hier im Forum, habe ich die durch A, B und C gehende Ebene mit
E: [mm] \vec{x} [/mm] = A + u(B-A)+v(C-A)= [mm]\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] +u[mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 8 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] +v[mm]\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] und einen Normalenverktor [mm] \vec{n} [/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] errechnet.
Nun habe ich aus oben genanntem Artikel abgeschrieben: Die Gerade g: [mm] \vec{x} [/mm] = D + t [mm] \vec{n} [/mm] schneidet die Ebene E in S, habe aber nirgendwo gefunden, was D ist und was t ist und ob ich überhaupt damit meine Lösung herausfinden kann??
Falls der Abstand DS meine gegebene Höhe 9 ist, ist dann D mein gegebener Fußpunkt F? Wenn ja, waren dann meine obigen Verrenkungen nicht unnötig, denn F ist doch bereits senkrecht zu S.
Ich habe den Eindruck ich denke viel zu kompliziert? Ist es nicht so, dass ich nur eine Formel haben müsste, die mich 3 Gleichungen aufstellen lässt mit S(x/y/z) und F(11/-2/19) und h=9?
Sollte es die Hessesche Normalform sein? Wäre nett, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte.
Tausend Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:25 So 06.05.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Die Punkte A(3/-2/0), B(4/6/3), C(6/2/-1) sind die
> Basiseckpunkte einer dreiseitigen Pyramide ABCS mit der
> Höhe h=9.
> Welche Koordinaten hat die Spitze S, die senkrecht genau
> "über" oder "unter" dem Fußpunkt F mit den Koordinaten
> (11/-2/19) liegt (2 Möglichkeiten)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo liebe Experten, um einem jungen Bekannten zu helfen,
> wollte ich mich ein wenig einarbeiten in die Materie, mit
> der ich seit vielen Jahren nichts mehr zu tun habe. Nun
> brauche ich wohl selbst Hilfe.
>
> Aufgabe a war den Flächeninhalt der Grundfläche zu
> berechnen, da habe ich 15 [FE] herausgekommen, falls das
> jemand nachrechnet, wäre ich interessiert ob das korrekt
> ist.
>
> In Anlehnung an den Artikel "Höhe einer Pyramide" hier im
> Forum, habe ich die durch A, B und C gehende Ebene mit
> E: [mm]\vec{x}[/mm] = A + u(B-A)+v(C-A)= [mm]\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
> +u[mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 8 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm]
> +v[mm]\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] und einen
> Normalenverktor [mm]\vec{n}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm]
> errechnet.
>
Bis hierher völlig korrekt.
Jetzt brauchen wir besagte "Hilfsgerade" [mm] g:\vec{x}=\vec{f}+\lambda\vec{n}
[/mm]
Und zwar suchst du genau das [mm] \lambda, [/mm] damit [mm] |\lambda\vec{n}|=9 [/mm] sein soll.
Also:
[mm] \lambda\vec{n}=\vektor{2\\-1\\2}=\vektor{2\lambda\\-\lambda\\2\lambda}
[/mm]
Und es soll jetzt gelten:
[mm] |\vektor{2\lambda\\-\lambda\\2\lambda}|=9
[/mm]
Also:
[mm] \wurzel{(2\lambda)²+(-\lambda)²+(2\lambda)²}=9
[/mm]
[mm] \gdw\wurzel{9\lambda²}=9
[/mm]
[mm] \gdw\lambda=\pm1
[/mm]
Und genau diese beiden Werte setzen wir jetzt in g in, und erhalten somit die Beiden Punkte.
Also:
[mm] \vec{d_{1}}=\vec{f}+\vec{n}
[/mm]
[mm] =\vektor{11\\-2\\19}+\vektor{2\\-1\\2}=\vektor{13\\-3\\21}
[/mm]
und:
[mm] \vec{d_{2}}=\vec{f}-\vec{n}
[/mm]
[mm] =\vektor{11\\-2\\19}-\vektor{2\\-1\\2}=\vektor{9\\-1\\17}
[/mm]
Marius
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Hallo Marius,
erstmal 100 000 Dank für die Blitzschnelle Antwort. Ich bin begeistert von diesem Forum.
Muss das jetzt mal erst in Ruhe durchgehen. Fällt Dir noch eine zweite Möglichkeit ein?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:37 So 06.05.2007 | | Autor: | Snoopymaus |
Upps Verzeihung, das war wohl ein Denkfehler. (2 Möglichkeiten) sollte wohl heissen, dass es zwei Lösungen gibt und ich habe gedacht die Aufgabe soll auf zwei Wegen gelöst werden.
Nun bin ich so neu und weiss nicht, wie ich wieder das grün für Aufgabe ist gelöst hinzaubern kann 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:41 So 06.05.2007 | | Autor: | M.Rex |
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> Nun bin ich so neu und weiss nicht, wie ich wieder das grün
> für Aufgabe ist gelöst hinzaubern kann
>
Hab ich grade erledigt, bin ja Moderator.
Marius
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Mi 09.05.2007 | | Autor: | Draddy |
Hallo,
ich bin der junge Bekannte der von Snoopy ein wenig nachhilfe erhält :)
ich bin da glaub ich auf nen denk fehler gekommen - und zwar
> Jetzt brauchen wir besagte "Hilfsgerade"
> [mm]g:\vec{x}=\vec{f}+\lambda\vec{n}[/mm]
>
> Und zwar suchst du genau das [mm]\lambda,[/mm] damit
> [mm]|\lambda\vec{n}|=9[/mm] sein soll.
>
> Also:
>
> [mm]\lambda\vec{n}=\vektor{2\\-1\\2}=\vektor{2\lambda\\-\lambda\\2\lambda}[/mm]
>
> Und es soll jetzt gelten:
> [mm]|\vektor{2\lambda\\-\lambda\\2\lambda}|=9[/mm]
> Also:
>
> [mm]\wurzel{(2\lambda)²+(-\lambda)²+(2\lambda)²}=9[/mm]
> [mm]\gdw\wurzel{9\lambda²}=9[/mm]
> [mm]\gdw\lambda=\pm1[/mm]
[mm]\wurzel{9\lambda²}[/mm] ergibt für mich nach normalem wurzel ziehen [mm]3\lambda[/mm] womit die gleichung zu diesem moment also:
[mm]+-3\lambda[/mm]=9 lautet |:(+-3)
[mm]\lambda=+-3[/mm]
Damit ergeben sich eingesetzt natürlich 2 andere punke - welche nach meiner rechnung sein sollten:
S1 [mm]\vektor{5 \\ 1 \\ 13}[/mm]
bzw.
S2 [mm]\vektor{17 \\ -5 \\ 25}[/mm]
sollte ich mich Irren - bitte ich es mir zu erklären.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Mi 09.05.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Du hast Recht, es ist tatsächlich so.
Marius
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