Koordinaten aus Ebene in Raum < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:06 Sa 26.03.2005 | | Autor: | aramis |
Hallo zusammen,
da ich neu hier in diesem Forum bin, wage ich nun den ersten Schritt und werde hier meine Frage einmal veröffentlichen.
Das ganze habe ich in dieses Forum gepackt, da ich dachte, es würde in gewissem Sinne unter Topologie fallen, da es sich um homöomorphe Flächen handelt (soweit ich das verstanden habe).
Ich habe mir überlegt, inwiefern es möglich ist, Koordinaten aus einer Ebene in einen Raum zu übertragen.
Da ich erst in der 11. Klasse bin, sind meine Kenntnisse auf diesem Gebiet noch relativ beschränkt, ich bitte daher um Rücksichtnahme, wenn ich grobe Fehler begehe, aber mich langweilt zur Zeit der Matheunterricht in der Schule und da suchte ich neue Herausforderungen 
Nun, um nicht weiter um den heißen Brei herum zu reden, versuche ich ersteinmal meinen Ausgangspunkt zu umreißen:
Gegeben sei ein Koordinatenkreuz mit 3 beliebigen Punkten, die zwangsläufig ein Dreieck darstellen, sowie ihre Koordinaten.
Daraus können Winkel sowie die Abstände zwischen den Punkten errechnet werden.
Nun die erste Hürde des Verstehens:
Ich möchte hingehen und dieses Dreieck auf eine Kugel übertragen, deren Durchmesser ja maximal so groß sein darf, wie der größte Abstand zwischen zweien der 3 Punkte.
Sei diese Kugel gegeben.
Man stelle sich nun vor, man habe ein Kugel aus Knete. Diese Kugel stelle den Raum dar.
Die Ebene sei einfach ein Brett, durch das man an den Koordinaten Löcher gebohrt hat.
Nun nimmt man einfach eine Nadel und überträgt durch senkrechtes Hindurchstechen durch die Löcher die Koordinaten aus der Ebene auf die Kugel.
Somit hat man die Koordinaten von der Ebene auf die Kugel übertragen.
Die Punkte haben zwar verschiedene z-Koordinaten, die man aber außer acht lassen kann, da die Punkte sich auf einer Kugel befinden und von daher alle den gleichen Abstand (=r) zum Mittelpunkt haben.
Jetzt kommt das eigentliche Problem:
Ich wollte die Fläche des auf der Kugel entstandenen Dreiecks ausrechnen.
Meine Ansätze:
Ich hatte gedacht, ich könnte über die Winkel zum Mittelpunkt die neu entstandenen Strecken ausrechnen und zu einem gleichen Dreieck zusammensetzen.
Sprich, einfach die Abstände als Teile des Umfangs ausrechnen und zu einem Dreieck zusammensetzen.
Ich dachte in der Theorie auch, dass es so richtig sei, aber als ich dann die Probe aufs Exempel gemacht habe, wurde ich enttäuscht.
Alles passte vorne und hinten nicht.
Ich hab das ganze an einer Halbkugel einer Lampe überprüft und das einzige, was ich feststellte, war, dass alle Kanten des neuen Dreiecks den Umfang des Kreises (bzw. der Lampe) ergaben.
Weiter:
Ich bin jetzt nun soweit, dass ich mir einiges über "sphärische Trigonometrie" durchgelesen habe und weiß, dass die Winkelsumme [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] + [mm] \gamma [/mm] = 180° + [mm] \varepsilon [/mm] beträgt, wobei [mm] \varepsilon
[/mm]
den Exzess darstellt, also der Winkelüberschuss, oder so nannte man es.
Nunja, und an dem Punkt bin ich mit meinem Latein am Ende.
Im Moment zumindest.
Ich werde mich jetzt die Tage nochmal ransetzen und versuchen dort ein wenig weiter zu kommen.
An dieser Stelle schonmal ein Lob, an all diejenigen, die sich die Mühe gemacht haben und sich alles bis hier hin alles durchgelesen haben.
Wer es dann noch schaffen sollte, mir zu sagen, ob ich da richtig bin oder vielleicht ganz und gar fehl am Platze bin, dem bin ich auf jedenfall dankbar.
Wer mag, kann hier auch noch eigene Ideen dazu oder Anregungen posten, bin für alles offen (außer natürlich für Kritik )
MfG
René
//edit:
Ich habe mein "übertragungsmethode" noch einmal überarbeitet und hoffe, dass so meine Gedanken vielleicht ein wenig deutlicher werden.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:26 Sa 26.03.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Rene
So wie ich das verstanden habe, willst du die Fläche eine Kugeldreiecks mit der Fläche eines ebenen Dreiecks vergleichen?
Du berechnest die drei Seitenlängen des Kugeldreiecks und Berechnest die Fläche eines ebenen Dreiecks mit denselben Seitenlängen?
Diese Methode funktioniert nicht, denn man kann die Ebene nicht flächen- und längengtreu auf die Kugeloberfläche abbilden. Deshalb kann man nicht einfach die Längen übertragen um auf die Fläche zu schliessen.
Für sphärische Dreiecke gibt es schon Formeln (Stichwort: sphärische Trigonometrie). Aber ich kenne die Grundüberlegungen und Ideen nicht, wie man sie herleitet.
Vielleich kann ja eine andere Person helfen.
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:29 Sa 26.03.2005 | | Autor: | aramis |
Danke schonmal für deine Antwort.
Vielleicht war meine Formulierung nicht ganz korrekt.
Ich weiß schon, dass die Längen zwischen den Punkten nicht gleich bleiben.
Aber ich dachte, da man zwei Punkte auf einer Kugel immer über einen Großkreis (der ja dem Umfang entspricht) verbinden kann und da die Punkte ja zum Mittelpunkt in einem bestimmten Winkel stehen, müsste man die Entfernung über die Kugel auch so ausrechnen können:
[mm] \alpha [/mm] / 360°+2 [mm] \pi*r
[/mm]
Hierbei entspräche ja [mm] \alpha=Winkel [/mm] zwischen den beiden Punkten.
Meiner Logik nach müsste ja somit die Strecke zwischen den 2 Punkten schon einmal klar sein.
Nur die Winkel innerhalb des Dreiecks auf der Kugel bereiten mir Probleme, da es sich ja auch um ein unregelmäßiges Dreieck handeln könnte.
Trotzdem schon einmal vielen Dank für die Antwort!
Ich hoffe auf weitere...wie sagt man... Resonanz?
Sagen wir Feedback, dann weiß jeder was gemeint ist
MfG
René
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:49 Mo 28.03.2005 | | Autor: | moudi |
> Danke schonmal für deine Antwort.
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> Vielleicht war meine Formulierung nicht ganz korrekt.
> Ich weiß schon, dass die Längen zwischen den Punkten nicht
> gleich bleiben.
> Aber ich dachte, da man zwei Punkte auf einer Kugel immer
> über einen Großkreis (der ja dem Umfang entspricht)
> verbinden kann und da die Punkte ja zum Mittelpunkt in
> einem bestimmten Winkel stehen, müsste man die Entfernung
> über die Kugel auch so ausrechnen können:
>
> [mm]\alpha[/mm] / 360°+2 [mm]\pi*r[/mm]
>
> Hierbei entspräche ja [mm]\alpha=Winkel[/mm] zwischen den beiden
> Punkten.
Wenn [mm] $\alpha$ [/mm] der Zentriwinkel ist, dann müsste der Abstand der Punkte auf der Kugel
[mm] $d=\frac{\alpha}{360°}\cdot 2\pi [/mm] r$
entsprechen. Ich nehme an es war nur ein Verschreiber.
mfG Moudi
>
> Meiner Logik nach müsste ja somit die Strecke zwischen den
> 2 Punkten schon einmal klar sein.
> Nur die Winkel innerhalb des Dreiecks auf der Kugel
> bereiten mir Probleme, da es sich ja auch um ein
> unregelmäßiges Dreieck handeln könnte.
>
> Trotzdem schon einmal vielen Dank für die Antwort!
> Ich hoffe auf weitere...wie sagt man... Resonanz?
> Sagen wir Feedback, dann weiß jeder was gemeint ist
>
> MfG
> René
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:53 Mo 28.03.2005 | | Autor: | aramis |
Stimmt, entschuldige. Natürlich sollte es das heißen, was du meintest.
Naja, die zwei Tasten liegen direkt nebeneinander.
Scheint gar nicht so einfach zu sein, oder es gibt keinen, der sich dafür interessiert.
Ich komm im Moment auch nicht weiter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:12 Di 29.03.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Rene
Ich habe ein bisschen nachgedacht und weiss jetzt, wie man die Winkel im sphärischen Dreieck berechnet.
Allerdings ist dazu ein bisschen Vektorgeometrie nötig.
Die Seiten eines Dreiecks sind durch Grosskreisbogen gegeben. Ein Grosskreis ist der Schnitt einer Ebene durch den Kugelmittelpunkt.
Nehmen wir an das Kugeldreieck habe die Punkte A, B, C gesucht ist der Winkel [mm] $\alpha$. [/mm] Dann ist [mm] $\alpha$ [/mm] nichts anderes, als der Winkel zwischen den "Trägerebenen" der Grosskreise durch AB und durch AC. Denn diese Ebenen schneiden sich - unter anderem - im Punkt A und der Winkel zwischen diesen Ebenen ist gerade [mm] $\alpha$.
[/mm]
Ist der Kugelmittelpunkt im Punkt O(0,0,0) so hat der Vektor [mm] $\vec r_A=\overrightarrow{0A}$ [/mm] die gleichen Komponenten wie die kartesischen Koordinaten von A.
Man bekommt dann mit dem Vektorprodukt [mm] $\vec r_a\times\vec r_b$ [/mm] einen Normalenvektor der Trägerebene des Grosskreises durch AB. Analog ist [mm] $\vec r_a\times\vec r_c$ [/mm] ein Normalenvektor der Trägerebene des Grosskreises durch AC. Der Winkel zwischen diesen beiden Ebene, ist der Winkel zwischen den Normalenvektoren.
Also [mm] $\alpha=\sphericalangle (\vec r_a\times\vec r_b, \vec r_a\times\vec r_c)$.
[/mm]
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:23 Di 29.03.2005 | | Autor: | aramis |
Danke Moudi!
Ich werds mich mal dransetzen und ein wenig ausprobieren.
Mal sehen, wie ich damit zurechtkomme, denn wie gesagt, bin ich erst in der 11. Klasse, das heißt Vektoren und dergleichen haben wir dort noch nicht besprochen, allerdings habe ich hier schon einige Ausdrucke liegen.
Werde mich in kommender Zeit einmal damit beschäftigen.
MfG
René
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