Koordinatenbestimmung Pyramide < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche ABCD und der Spitze S hat die Eckpunkte A (1|3|2) und B (1|7|2). Die Höhe der Pyramide beträgt 4 cm.
Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte C und D sowie der Spitze S. |
(Zusatz: Auf der dazugehörigen Zeichnung ist angegeben, dass eine Gerade, die man vom Boden der Pyramide zur Spitze setzt, in einem rechten Winkel steht.)
Ich habe keine Ahnung, wie ich da vorgehen soll und wäre für Tipps wirklich dankbar.
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Hallo,
Denkst du nicht, dass da noch eine Angabe fehlen könnte?
Gruß Thomas
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Nein, ich habe die komplette Aufgabenstellung abgeschrieben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:30 So 08.09.2013 | | Autor: | abakus |
> Nein, ich habe die komplette Aufgabenstellung
> abgeschrieben.
Aber die wesentlichen Informationen der Zeichnung hast du für dich behalten.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:32 So 08.09.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
Ja die ziemlich wichtig sind wenn diese Aufgabe was sinnvolles zu Tage fördern soll.....
Gruß Thomas
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> Ja die ziemlich wichtig sind wenn diese Aufgabe was
> sinnvolles zu Tage fördern soll.....
>
>
> Gruß Thomas
Ich dachte, die Zeichnung wäre nur eine Art Zusatz... Entschuldigung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 So 08.09.2013 | | Autor: | abakus |
> Eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche ABCD und der
> Spitze S hat die Eckpunkte A (1|3|2) und B (1|7|2). Die
> Höhe der Pyramide beträgt 4 cm.
> Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte C und D sowie der
> Spitze S.
>
> (Zusatz: Auf der dazugehörigen Zeichnung ist angegeben,
Gutes Stichwort: ist dieser Zeichnung zu entnehmen
- ob die Grundfläche parallel zu einer der drei Koordinatenebenen verläuft
- ob die Spitze genau über dem MITTELPUNKT der Grundfläche liegt ?
Gruß Abakus
> dass eine Gerade, die man vom Boden der Pyramide zur Spitze
> setzt, in einem rechten Winkel steht.)
>
> Ich habe keine Ahnung, wie ich da vorgehen soll und wäre
> für Tipps wirklich dankbar.
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> Gutes Stichwort: ist dieser Zeichnung zu entnehmen
> - ob die Grundfläche parallel zu einer der drei
> Koordinatenebenen verläuft
Ähm, [mm] \overline{AB} [/mm] ist parallel zu [mm] \overline{DC} [/mm] und [mm] \overline{AD} [/mm] zu [mm] \overline{BC}. [/mm] Sonst kann ich keine Parallelismen erkennen. Es sind gestrichelte Querlinien quer durch den Pyramidenboden zu den Eckpunkten gezogen (sieht aus wie ein Briefumschlag) und eine gestrichelte Linie von der mittigen Geraden zur linken Seite.
> - ob die Spitze genau über dem MITTELPUNKT der
> Grundfläche liegt ?
> Gruß Abakus
Es sieht zumindest wie der Mittelpunkt der Grundfläche aus.
Danke schon mal!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:43 So 08.09.2013 | | Autor: | abakus |
> > Gutes Stichwort: ist dieser Zeichnung zu entnehmen
> > - ob die Grundfläche parallel zu einer der drei
> > Koordinatenebenen verläuft
>
> Ähm, [mm]\overline{AB}[/mm] ist parallel zu [mm]\overline{DC}[/mm] und
> [mm]\overline{AD}[/mm] zu [mm]\overline{BC}.[/mm] Sonst kann ich keine
> Parallelismen erkennen.
Das wussten wir auch schon, sonst wäre es kein Quadrat.
Ist das Viereck ABCD parallel zur x-y-Ebene (dann hätten alle 4 Punkte die gleiche z-Koordinate) ?
Oder parallel zu einer anderen Ebene?
Oder liegt sie schräg im Raum?
> Es sind gestrichelte Querlinien
> quer durch den Pyramidenboden zu den Eckpunkten gezogen
> (sieht aus wie ein Briefumschlag) und eine gestrichelte
> Linie von der mittigen Geraden zur linken Seite.
>
> > - ob die Spitze genau über dem MITTELPUNKT der
> > Grundfläche liegt ?
> > Gruß Abakus
>
> Es sieht zumindest wie der Mittelpunkt der Grundfläche
> aus.
>
> Danke schon mal!
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> > > Gutes Stichwort: ist dieser Zeichnung zu entnehmen
> > > - ob die Grundfläche parallel zu einer der drei
> > > Koordinatenebenen verläuft
> >
> > Ähm, [mm]\overline{AB}[/mm] ist parallel zu [mm]\overline{DC}[/mm] und
> > [mm]\overline{AD}[/mm] zu [mm]\overline{BC}.[/mm] Sonst kann ich keine
> > Parallelismen erkennen.
>
> Das wussten wir auch schon, sonst wäre es kein Quadrat.
> Ist das Viereck ABCD parallel zur x-y-Ebene (dann hätten
> alle 4 Punkte die gleiche z-Koordinate) ?
> Oder parallel zu einer anderen Ebene?
> Oder liegt sie schräg im Raum?
[mm] \overline{AB} [/mm] und [mm] \overline{DC} [/mm] sehen aus als würden sie bei Setzen eines Koordinatensystems parallel zur x-Achse liegen, dasselbe würde ich für [mm] \overline{AD} [/mm] und [mm] \overline{BC} [/mm] zur y-Achse aber nicht sagen. Die mittige Gerade, die zur Spitze führt, würde aber parallel zur y-Achse liegen, glaube ich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:00 So 08.09.2013 | | Autor: | abakus |
> > > > Gutes Stichwort: ist dieser Zeichnung zu entnehmen
> > > > - ob die Grundfläche parallel zu einer der drei
> > > > Koordinatenebenen verläuft
> > >
> > > Ähm, [mm]\overline{AB}[/mm] ist parallel zu [mm]\overline{DC}[/mm]
> und
> > > [mm]\overline{AD}[/mm] zu [mm]\overline{BC}.[/mm] Sonst kann ich keine
> > > Parallelismen erkennen.
> >
> > Das wussten wir auch schon, sonst wäre es kein Quadrat.
> > Ist das Viereck ABCD parallel zur x-y-Ebene (dann
> hätten
> > alle 4 Punkte die gleiche z-Koordinate) ?
> > Oder parallel zu einer anderen Ebene?
> > Oder liegt sie schräg im Raum?
>
> [mm]\overline{AB}[/mm] und [mm]\overline{DC}[/mm] sehen aus als würden sie
> bei Setzen eines Koordinatensystems parallel zur x-Achse
> liegen, dasselbe würde ich für [mm]\overline{AD}[/mm] und
> [mm]\overline{BC}[/mm] zur y-Achse aber nicht sagen. Die mittige
> Gerade, die zur Spitze führt, würde aber parallel zur
> y-Achse liegen, glaube ich.
Gut, also liegt ABCD parallel zur x-y-Ebene, und alle 4 Punkte haben die z-Koordinate 2.
Jetzt lassen wir mal von A (1|3|2) und B (1|7|2)
die z-Koordinate weg.
Skizziere A(1|3) und B(1|7) in ein normales x-y-Koordinatensystem und mache daraus das vollständige Quadrat ABCD. Lies die Koordinaten von C und D ab und füge dann noch die z-Koordinate 2 hinzu.
Lies auch den Mittelpunkt des Quadrates ab (Schnittpunkt der Diagonalen AC und BD), er liegt ebenfalls in der Höhe z=2.
Gehe dann von diesem Punkt M aus noch 4 Einheiten nach oben, dann hast du S.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:06 So 08.09.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
Hallo Abakus,
Oh Mann ich mochte "Malen nach Zahlen" nie - auch die anspruchsvolle malen nach Zahlen Variante hat mir nie gefallen :)
Gruß Thomas
Ps: Also siehst du Unwissende33 - die Skizze hat viel geholfen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:24 So 08.09.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo Abakus,
>
> Oh Mann ich mochte "Malen nach Zahlen" nie - auch die
> anspruchsvolle malen nach Zahlen Variante hat mir nie
> gefallen :)
Mir auch nicht - aber wir wissen beide nicht, welchen Kenntnisstand wir voraussetzen können.
Und ich hoffe ja darauf, dass während des Befolgens der "Malanleitung" der Gedankenblitz kommt: "Das sind ja immer 6 Einheiten Unterschied!"
Gruß Abakus
>
> Gruß Thomas
>
> Ps: Also siehst du Unwissende33 - die Skizze hat viel
> geholfen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:28 So 08.09.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
> > Hallo Abakus,
> >
> > Oh Mann ich mochte "Malen nach Zahlen" nie - auch die
> > anspruchsvolle malen nach Zahlen Variante hat mir nie
> > gefallen :)
> Mir auch nicht - aber wir wissen beide nicht, welchen
> Kenntnisstand wir voraussetzen können.
> Und ich hoffe ja darauf, dass während des Befolgens der
> "Malanleitung" der Gedankenblitz kommt: "Das sind ja immer
> 6 Einheiten Unterschied!"
> Gruß Abakus
Ja da hast du natürlich recht.
@Unwissende33 - Skizzen sind generell sehr empfehlenswert , ich wollte die bildhafte Vorstellung von Aufgaben /Problemen keinesfalls schlecht reden.
Gruß Thomas
> >
> > Gruß Thomas
> >
> > Ps: Also siehst du Unwissende33 - die Skizze hat viel
> > geholfen.
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> > > Hallo Abakus,
> > >
> > > Oh Mann ich mochte "Malen nach Zahlen" nie - auch
> die
> > > anspruchsvolle malen nach Zahlen Variante hat mir
> nie
> > > gefallen :)
> > Mir auch nicht - aber wir wissen beide nicht, welchen
> > Kenntnisstand wir voraussetzen können.
> > Und ich hoffe ja darauf, dass während des Befolgens
> der
> > "Malanleitung" der Gedankenblitz kommt: "Das sind ja immer
> > 6 Einheiten Unterschied!"
> > Gruß Abakus
>
> Ja da hast du natürlich recht.
>
> @Unwissende33 - Skizzen sind generell sehr empfehlenswert ,
> ich wollte die bildhafte Vorstellung von Aufgaben
> /Problemen keinesfalls schlecht reden.
Ja, sie können hilfreich sein, aber ich zeichne sie in der Regel nicht gern.
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> > [mm]\overline{AB}[/mm] und [mm]\overline{DC}[/mm] sehen aus als würden
> sie
> > bei Setzen eines Koordinatensystems parallel zur
> x-Achse
> > liegen, dasselbe würde ich für [mm]\overline{AD}[/mm] und
> > [mm]\overline{BC}[/mm] zur y-Achse aber nicht sagen. Die mittige
> > Gerade, die zur Spitze führt, würde aber parallel zur
> > y-Achse liegen, glaube ich.
> Gut, also liegt ABCD parallel zur x-y-Ebene, und alle 4
> Punkte haben die z-Koordinate 2.
> Jetzt lassen wir mal von A (1|3|2) und B (1|7|2)
> die z-Koordinate weg.
> Skizziere A(1|3) und B(1|7) in ein normales
> x-y-Koordinatensystem und mache daraus das vollständige
> Quadrat ABCD. Lies die Koordinaten von C und D ab und füge
> dann noch die z-Koordinate 2 hinzu.
> Lies auch den Mittelpunkt des Quadrates ab (Schnittpunkt
> der Diagonalen AC und BD), er liegt ebenfalls in der Höhe
> z=2.
> Gehe dann von diesem Punkt M aus noch 4 Einheiten nach
> oben, dann hast du S.
> Gruß Abakus
Bei mir im Buch ist die schräge Koordinatenachse mit [mm] x_{1} [/mm] beschrieben; muss ich dann nicht, wenn ich diese Achse weglasse, die Punkte A (3|2) und B (7|2) einzeichnen? Und auch beim Einzeichnen wurde eigentlich immer die erste Zahl für die dritte Achse genommen, auch im Buch...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 So 08.09.2013 | | Autor: | abakus |
> > > [mm]\overline{AB}[/mm] und [mm]\overline{DC}[/mm] sehen aus als würden
> > sie
> > > bei Setzen eines Koordinatensystems parallel zur
> > x-Achse
> > > liegen, dasselbe würde ich für [mm]\overline{AD}[/mm] und
> > > [mm]\overline{BC}[/mm] zur y-Achse aber nicht sagen. Die
> mittige
> > > Gerade, die zur Spitze führt, würde aber parallel
> zur
> > > y-Achse liegen, glaube ich.
> > Gut, also liegt ABCD parallel zur x-y-Ebene, und alle 4
> > Punkte haben die z-Koordinate 2.
> > Jetzt lassen wir mal von A (1|3|2) und B (1|7|2)
> > die z-Koordinate weg.
> > Skizziere A(1|3) und B(1|7) in ein normales
> > x-y-Koordinatensystem und mache daraus das vollständige
> > Quadrat ABCD. Lies die Koordinaten von C und D ab und füge
> > dann noch die z-Koordinate 2 hinzu.
> > Lies auch den Mittelpunkt des Quadrates ab
> (Schnittpunkt
> > der Diagonalen AC und BD), er liegt ebenfalls in der Höhe
> > z=2.
> > Gehe dann von diesem Punkt M aus noch 4 Einheiten nach
> > oben, dann hast du S.
> > Gruß Abakus
>
> Bei mir im Buch ist die schräge Koordinatenachse mit [mm]x_{1}[/mm]
> beschrieben; muss ich dann nicht, wenn ich diese Achse
> weglasse, die Punkte A (3|2) und B (7|2) einzeichnen? Und
> auch beim Einzeichnen wurde eigentlich immer die erste Zahl
> für die dritte Achse genommen, auch im Buch...
Hallo,
in verschiedenen Büchern werden verschiedne Beschriftungen verwendet (x,y,z bzw. x1, x2, x3).
Es gilt x= [mm]x_1[/mm], y=[mm]x_2[/mm] und z=[mm]x_3[/mm].
In deiner Schreibweise: Lass die [mm]x_3[/mm]-Koordinate weg und zeichne die [mm]x_1[/mm]-[mm]x_2[/mm]-Ebene UNVERZERRT.
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> Skizziere A(1|3) und B(1|7) in ein normales
> x-y-Koordinatensystem und mache daraus das vollständige
> Quadrat ABCD.
Wie soll ich denn daraus das Quadrat machen? Ich weiß doch nicht, wie lang [mm] \overline{AD} [/mm] und [mm] \overline{BC} [/mm] sind.
Ich hab bis jetzt nur die Punkte A (3|2) und B (7|2).
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> > Skizziere A(1|3) und B(1|7) in ein normales
> > x-y-Koordinatensystem und mache daraus das vollständige
> > Quadrat ABCD.
>
> Wie soll ich denn daraus das Quadrat machen? Ich weiß doch
> nicht, wie lang [mm]\overline{AD}[/mm] und [mm]\overline{BC}[/mm] sind.
>
> Ich hab bis jetzt nur die Punkte A (3|2) und B (7|2).
Hallo,
dann könntest Du ja mal feststellen, wie lang die Strecke [mm] \overline{AB} [/mm] ist,
und Dir anschließend überlegen, was Du nun über [mm] \overline{BC} [/mm] und [mm] \overline{AD} [/mm] weißt.
LG Angela
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> > > Skizziere A(1|3) und B(1|7) in ein normales
> > > x-y-Koordinatensystem und mache daraus das
> vollständige
> > > Quadrat ABCD.
> >
> > Wie soll ich denn daraus das Quadrat machen? Ich weiß
> doch
> > nicht, wie lang [mm]\overline{AD}[/mm] und [mm]\overline{BC}[/mm] sind.
> >
> > Ich hab bis jetzt nur die Punkte A (3|2) und B (7|2).
>
> Hallo,
>
> dann könntest Du ja mal feststellen, wie lang die Strecke
> [mm]\overline{AB}[/mm] ist,
> und Dir anschließend überlegen, was Du nun über
> [mm]\overline{BC}[/mm] und [mm]\overline{AD}[/mm] weißt.
>
> LG Angela
Achso. Da es ein Quadrat ist, sind alle 4 Seiten gleichlang. Also auch [mm] \overline{AD} [/mm] und [mm] \overline{BC}. [/mm]
Aber wie soll ich das denn einzeichnen? [mm] \overline{AD} [/mm] und [mm] \overline{BC} [/mm] sind nicht parallel zur y-Achse und ich soll es doch (laut abakus) unverzerrt einzeichnen.
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> > > > Skizziere A(1|3) und B(1|7) in ein normales
> > > > x-y-Koordinatensystem und mache daraus das
> > vollständige
> > > > Quadrat ABCD.
> > >
> > > Wie soll ich denn daraus das Quadrat machen? Ich
> weiß
> > doch
> > > nicht, wie lang [mm]\overline{AD}[/mm] und [mm]\overline{BC}[/mm]
> sind.
> > >
> > > Ich hab bis jetzt nur die Punkte A (3|2) und B
> (7|2).
> >
> > Hallo,
> >
> > dann könntest Du ja mal feststellen, wie lang die Strecke
> > [mm]\overline{AB}[/mm] ist,
> > und Dir anschließend überlegen, was Du nun über
> > [mm]\overline{BC}[/mm] und [mm]\overline{AD}[/mm] weißt.
> >
> > LG Angela
>
> Achso. Da es ein Quadrat ist, sind alle 4 Seiten
> gleichlang. Also auch [mm]\overline{AD}[/mm] und [mm]\overline{BC}.[/mm]
Ganz genau.
>
> Aber wie soll ich das denn einzeichnen? [mm]\overline{AD}[/mm] und
> [mm]\overline{BC}[/mm] sind nicht parallel zur y-Achse und ich soll
> es doch (laut abakus) unverzerrt einzeichnen.
>
Lies, was abakus exakt geschrieben hat. Lass die z Koord. weg und zeichne es in ein normales x,y Koord.system.
Gruß Thomas
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Ich glaube, ich habs. Wenn P (z|x|y), dann sind die Punkte: A (1|3|2), B (1|7|2) (beide angegeben), D (1|3|6) (weil ich auf der y-Achse 4 höher muss als bei A) und C (1|7|6) (weil ich da auch 4 höher muss als bei B). Die Spitze liegt bei S (1|5|4) (weil sie 2 Einheiten weiter rechts liegt als A und 2 höher).
Ist das so richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 So 08.09.2013 | | Autor: | abakus |
> Ich glaube, ich habs. Wenn P (z|x|y), dann sind die Punkte:
> A (1|3|2), B (1|7|2) (beide angegeben), D (1|3|6) (weil ich
> auf der y-Achse 4 höher muss als bei A) und C (1|7|6)
> (weil ich da auch 4 höher muss als bei B). Die Spitze
> liegt bei S (1|5|4) (weil sie 2 Einheiten weiter rechts
> liegt als A und 2 höher).
>
> Ist das so richtig?
Nein. Die letzte Koordinate von C und D bleibt 2.
Die zweite Koordinate von C und D ist jeweils um 4 größer als bei A und B.
Für S bestimme den Mittelpunkt von AC und erhöhe die letzte Koordinate (wegen Höhe=4).
Gruß Abakus
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> Nein. Die letzte Koordinate von C und D bleibt 2.
> Die zweite Koordinate von C und D ist jeweils um 4
> größer als bei A und B.
> Für S bestimme den Mittelpunkt von AC und erhöhe die
> letzte Koordinate (wegen Höhe=4).
> Gruß Abakus
Wenn die letzte Koordinate der y-Achsenabschnitt ist (ich setzte P (z|x|y), wie in meinem Buch), wieso bleibt diese Koordinate dann gleich bei C und D? Sie liegen doch über A und B. Und wieso soll der x-Wert (die zweite Koordinate, wie du sagtest) von C und D um 4 höher sein als bei A und B? Sie werden doch nicht weiter nach rechts verschoben, sondern liegen auf demselben x-Wert.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:55 So 08.09.2013 | | Autor: | MaxHBB |
Hallo,
bist du dir sicher, dass die Koordinatenreihenfolge in deinem Buch wirklich (z|x|y) ist? Also normalerweise ist die Reihenfolge immer $ [mm] (x=x_1|y=x_2|z=x_3)$. [/mm] Dabei ist [mm] x_1=x [/mm] das , was auf dich zukommt ("aus dem Blatt heraus"), [mm] x_2=y [/mm] das, was in rechts-links-Richtung verläuft und [mm] x_3=z [/mm] das, was nach oben geht, anders als bei einem zweidimensionalem Koordinatensystem, wo die x-Achse in rechts-links-Richtung und die Y-Achse nach oben verläuft. Vielleicht sollte das erstmal klar sein.
Gruß, Max
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> Hallo,
>
> bist du dir sicher, dass die Koordinatenreihenfolge in
> deinem Buch wirklich (z|x|y) ist? Also normalerweise ist
> die Reihenfolge immer [mm](x=x_1|y=x_2|z=x_3)[/mm]. Dabei ist [mm]x_1=x[/mm]
> das , was auf dich zukommt ("aus dem Blatt heraus"), [mm]x_2=y[/mm]
> das, was in rechts-links-Richtung verläuft und [mm]x_3=z[/mm] das,
> was nach oben geht, anders als bei einem zweidimensionalem
> Koordinatensystem, wo die x-Achse in rechts-links-Richtung
> und die Y-Achse nach oben verläuft. Vielleicht sollte das
> erstmal klar sein.
> Gruß, Max
Ich zitiere mal aus meinem Buch:
"Um die Lage eines Punktes anzugeben, benötigt man ein Koordinatensystem mit drei Achsen. Im Weiteren werden die Koordinatenachsen mit [mm] x_{1}-Achse, x_{2}-Achse [/mm] und [mm] x_{3}-Achse [/mm] bezeichnet. Die [mm] x_{1}-Achse [/mm] zeigt meist nach vorn, die [mm] x_{2}-Achse [/mm] nach rechts und die [mm] x_{3}-Achse [/mm] nach oben." (Zitat aus: Lambacher Schweizer Mathematik Qualifikationsphase Leistungskurs/Grundkurs) (Entschuldigung, ich möchte wirklich keine Werbung machen.)
Das sollte es, denke ich, bestätigen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:48 Mo 09.09.2013 | | Autor: | MaxHBB |
> Ich glaube, ich habs. Wenn P (z|x|y),
Ich glaube es wäre besser, die Koordinaten immer in der Reihenfolge [mm] (x_1|x_2|x_3) [/mm] anzugeben, damit niemand durcheinander kommt. Und wenn abakus sagt, du sollst dir die x-y-Ebene unverzerrt hinzeichnen, dann meint er nicht, dass die Y-Achse die Achse ist, die nach oben zeigen soll. Die x-y-Ebene liegt im dreidimensionalen koordinatensystem auf dem Boden. Die y-achse zeigt nur im zweidimensionalen Koordinatensystem nach oben. Für die Grundfläche der Pyramide, die ja, wie oben festgestellt, parallel zur [mm] x_1-x_2-Ebene [/mm] ist, ist es nicht nötig, die [mm] z=x_3-Koordinate [/mm] zu nennen, da sie sich sowieso nicht ändert. Deshalb meint abakus, sollst du dur die x-y-Ebene unverzerrt hinzeichnen, damit du die Form der Grundfäche besser erkennst.
dann sind die Punkte:
> A (1|3|2), B (1|7|2)
Hier wiederum benutzt du die alte Reihenfolge.
>(beide angegeben), D (1|3|6) (weil ich
> auf der y-Achse 4 höher muss als bei A) und C (1|7|6)
> (weil ich da auch 4 höher muss als bei B). Die Spitze
> liegt bei S (1|5|4) (weil sie 2 Einheiten weiter rechts
> liegt als A und 2 höher).
>
> Ist das so richtig?
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> Eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche ABCD und der
> Spitze S hat die Eckpunkte A (1|3|2) und B (1|7|2). Die
> Höhe der Pyramide beträgt 4 cm.
> Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte C und D sowie der
> Spitze S.
Hallo,
vor der Bearbeitung der Aufgabe sollten wir nochmal über räumliche Koordinatensysteme sprechen.
Räumliche Koordinatensysteme haben drei Achsen,
die
[mm] x_1-Achse,
[/mm]
[mm] x_2-Achse,
[/mm]
[mm] x_3-Achse.
[/mm]
Oft werden diese Achsen auch als
x-Achse,
y-Achse,
z-Achse
bezeichnet.
![[]](/images/popup.gif) Hier haben wir ein Bild eines solchen Koordinatensystems mit der üblichen Anordnung der Achsen.
Die Achsen sind mit [mm] x_1, x_2, x_3 [/mm] beschriftet.
Es ist - verwendet man die Bezeichnung x-, y-,z-Achse -
die
x-Achse die Achse, die schräg nach vorn läuft,
y-Achse die Achse, die nach rechts läuft,
z-Achse die Achse, die nach oben läuft.
Denken wir uns das Koordinatensystem in der hinteren linken Ecke eines Raumes positioniert, so ist der Boden die xy-Ebene (bzw. [mm] x_1x_2-Ebene),
[/mm]
die linke Wand die [mm] x_1x_3-Ebene [/mm] (xz-Ebene),
die Wand,auf die wir schauen, die [mm] x_2x_3-Ebene [/mm] (yz-Ebene.)
Weil ich hellsehen kann, weiß ich, daß Deine Pyramide in der Zeichnung so ist, daß sie "ganz normal" steht.
Es ist also ihre Grundfläche parallel zur [mm] x_1x_2-Ebene.
[/mm]
Gegeben hast Du die beiden Punkte
A (1|3|2) und B (1|7|2).
Sie sind beide 2 Einheiten über der [mm] x_1x_2-Ebene.
[/mm]
Damit die Grundfläche parallel zu dieser "Bodenebene" ist, müssen die gesuchten Punkte C und D auch 2 Einheiten über dem Boden schweben.
C und D haben also beide die Gestalt (...|...|2).
Herausgefunden hast Du schon, daß [mm] \overline{AB}=4 [/mm] ist.
Weil es sich um ein Quadrat handelt,sind die anderen Seiten auch 4 Einheiten lang.
Alles klar bis hier?
Jetzt machen wir uns über das Quadrat ABCD her.
Wir erinnern uns, daß die Punkte üblicherweise entgegen dem Uhrzeigersinn benannt werden.
Nun überlegen wir mal, wie wir den Punkt C finden können:
Du mußt dazu vom Punkt B aus 4 Einheiten nach hinten laufen, also parallel zur [mm] x_1-Achse, [/mm] jedoch entgegen der Pfeilrichtung.
Ebenso findest Du den Punkt D, indem Du von A aus 4 Einheiten nach hinten läufst.
Welche Punkte bekommst Du?
Der Vorschlag, der im Thread gemacht wurde, war, die Grundfläche der Pyramide mal in ein zweidimensionales, unverzerrtes Koordinatensystem einzutragen.
Du kannst Dir das so vorstellen, daß Du den Pyramidenboden,der sich auf der Höhe 2 befindet, herunterplumpsen läßt auf den Boden, und alles oberhalb des Bodens abschneidest.
Du hast dann also ein ganz normales zweidimensionales Koordinatensystem, der Punkt A entspricht dem Punkt A'(1|3), und der Punkt B entspricht dem Punkt B'(1|7).
Du könntest nun zum Quadrat A'B'C'D' ergänzen.
Hebst Du anschließend die gefundenen Punkte auf die Höhe 2 (durch Anfügen der dritten Koordinate) hast Du das gesuchte Quadrat im Raum gefunden.
Wenn Du das hast, ist die Mitte des Quadrates zu bestimmen.
Gehst Du von dieser 4 Einheiten nach oben, also 4 Einheiten in [mm] x_3-Richtung, [/mm] hast Du die Koordinaten der Spitze S gefunden.
LG Angela
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> Hallo,
>
> vor der Bearbeitung der Aufgabe sollten wir nochmal über
> räumliche Koordinatensysteme sprechen.
>
> Räumliche Koordinatensysteme haben drei Achsen,
> die
> [mm]x_1-Achse,[/mm]
> [mm]x_2-Achse,[/mm]
> [mm]x_3-Achse.[/mm]
>
> Oft werden diese Achsen auch als
> x-Achse,
> y-Achse,
> z-Achse
> bezeichnet.
>
> Hier
> haben wir ein Bild eines solchen Koordinatensystems mit der
> üblichen Anordnung der Achsen.
>
> Die Achsen sind mit [mm]x_1, x_2, x_3[/mm] beschriftet.
>
> Es ist - verwendet man die Bezeichnung x-, y-,z-Achse -
> die
> x-Achse die Achse, die schräg nach vorn läuft,
> y-Achse die Achse, die nach rechts läuft,
> z-Achse die Achse, die nach oben läuft.
>
> Denken wir uns das Koordinatensystem in der hinteren linken
> Ecke eines Raumes positioniert, so ist der Boden die
> xy-Ebene (bzw. [mm]x_1x_2-Ebene),[/mm]
> die linke Wand die [mm]x_1x_3-Ebene[/mm] (xz-Ebene),
> die Wand,auf die wir schauen, die [mm]x_2x_3-Ebene[/mm]
> (yz-Ebene.)
Entschuldige bitte das erneute Nachfragen, aber da muss ich mir jetzt sicher sein bevor ich mich noch mal an die Aufgabe machen kann: Hab ich mich jetzt völlig in der Achsenbenennung vertan? Wenn ich die [mm] x_{1}-Achse [/mm] auf dem von dir verlinkten Bild verlängere nach rechts oben, sieht das aus wie ein gezeichnetes Koordinatensystem. Du sagtest, die schräge Linie wäre die x-Achse. Die waagerechte Linie [mm] (x_{2}) [/mm] ist die y-Achse (was vorher im zweidimensionalen Koordinatensystem die x-Achse war) und die Achse, die nach oben zeigt (die ehemalige y-Achse) ist jetzt die z-Achse.
Richtig so? Wenn ja, dann tut mir das echt leid, dass ich euch jetzt so verwirrt habe. Mein Fehler. Ich dachte nämlich, die schräge wäre die z-Achse.
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Hallo,
> Entschuldige bitte das erneute Nachfragen, aber da muss
> ich mir jetzt sicher sein bevor ich mich noch mal an die
> Aufgabe machen kann: Hab ich mich jetzt völlig in der
> Achsenbenennung vertan? Wenn ich die [mm]x_{1}-Achse[/mm] auf dem
> von dir verlinkten Bild verlängere nach rechts oben, sieht
> das aus wie ein gezeichnetes Koordinatensystem. Du sagtest,
> die schräge Linie wäre die x-Achse. Die waagerechte Linie
> [mm](x_{2})[/mm] ist die y-Achse (was vorher im zweidimensionalen
> Koordinatensystem die x-Achse war) und die Achse, die nach
> oben zeigt (die ehemalige y-Achse) ist jetzt die z-Achse.
>
> Richtig so?
Richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wenn ja, dann tut mir das echt leid, dass ich
> euch jetzt so verwirrt habe. Mein Fehler. Ich dachte
> nämlich, die schräge wäre die z-Achse.
Nun ja: mathematisch gesehen könntest du die Achsen bennene wie du magst. Aber das hier sind halt Konventionen, die unheimlich wichtig sind, damit jeder Beteiligte weiß, worüber man spricht. Würde man das nicht einfach stillschweigend immer so machen, dann müsste man vor jeder Aufgabe vereinbaren, wie die Achsen benannt sind. Daher: merke dir das gut!
Gruß, Diophant
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> Gegeben hast Du die beiden Punkte
> A (1|3|2) und B (1|7|2).
> Sie sind beide 2 Einheiten über der [mm]x_1x_2-Ebene.[/mm]
> Damit die Grundfläche parallel zu dieser "Bodenebene"
> ist, müssen die gesuchten Punkte C und D auch 2 Einheiten
> über dem Boden schweben.
> C und D haben also beide die Gestalt (...|...|2).
>
> Herausgefunden hast Du schon, daß [mm]\overline{AB}=4[/mm] ist.
> Weil es sich um ein Quadrat handelt,sind die anderen
> Seiten auch 4 Einheiten lang.
>
> Alles klar bis hier?
>
> Jetzt machen wir uns über das Quadrat ABCD her.
> Wir erinnern uns, daß die Punkte üblicherweise entgegen
> dem Uhrzeigersinn benannt werden.
> Nun überlegen wir mal, wie wir den Punkt C finden
> können:
> Du mußt dazu vom Punkt B aus 4 Einheiten nach hinten
> laufen, also parallel zur [mm]x_1-Achse,[/mm] jedoch entgegen der
> Pfeilrichtung.
> Ebenso findest Du den Punkt D, indem Du von A aus 4
> Einheiten nach hinten läufst.
> Welche Punkte bekommst Du?
>
> Der Vorschlag, der im Thread gemacht wurde, war, die
> Grundfläche der Pyramide mal in ein zweidimensionales,
> unverzerrtes Koordinatensystem einzutragen.
> Du kannst Dir das so vorstellen, daß Du den
> Pyramidenboden,der sich auf der Höhe 2 befindet,
> herunterplumpsen läßt auf den Boden, und alles oberhalb
> des Bodens abschneidest.
> Du hast dann also ein ganz normales zweidimensionales
> Koordinatensystem, der Punkt A entspricht dem Punkt
> A'(1|3), und der Punkt B entspricht dem Punkt B'(1|7).
> Du könntest nun zum Quadrat A'B'C'D' ergänzen.
> Hebst Du anschließend die gefundenen Punkte auf die Höhe
> 2 (durch Anfügen der dritten Koordinate) hast Du das
> gesuchte Quadrat im Raum gefunden.
>
> Wenn Du das hast, ist die Mitte des Quadrates zu
> bestimmen.
> Gehst Du von dieser 4 Einheiten nach oben, also 4
> Einheiten in [mm]x_3-Richtung,[/mm] hast Du die Koordinaten der
> Spitze S gefunden.
>
> LG Angela
Also noch mal: Gegeben sind die Punkte A (1|3|2) und B (1|7|2). Weil die z-Koordinate die Höhe angibt und die Pyramide nicht schräg im Raum liegt, ändert sich diese Angabe nicht. Ich habe also: C ( | |2) und D ( | |2). Y (also [mm] x_{2}) [/mm] ändert sich auch nicht, weil die Punkte ja gegenüber voneinander über dem Boden schweben. Also nun: C ( |7|2) und D ( |3|2). Da die Punkte D und C weiter hinten im Raum liegen (und parallel zur x- Achse [mm] (x_{1})), [/mm] muss ich also 4 Einheiten schräg nach hinten gehen. Und weil rechts oben auf der [mm] x_{1}-Achse [/mm] der negative Bereich ist, muss ich jeweils 4 Einheiten von den [mm] x_{1}-Werten [/mm] von A und B subtrahieren. Ich habe also: C (-3|7|2) und D (-3|3|2). Nun S: Die Pyramide schwebt schon 2 Einheiten über dem Boden, wenn die Spitze jetzt noch mal 4 Einheiten höher liegt, sind das 6 Einheiten und das ist der z-Wert [mm] (x_{3}). [/mm] Also habe ich bis jetzt S ( | |6). Da die Spitze in der Mitte liegt, muss sie auch jeweils in der Mitte der [mm] x_{1}- [/mm] und [mm] x_{2}-Werte [/mm] von A, B, C und D liegen. Das wäre dann also: S (-1|5|6).
Ist das jetzt korrekt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 Mo 09.09.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
jetzt ist alles richtig!
Gruss leduart
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Ich danke euch allen, dass ihr euch so viel Mühe gegeben habt und sehr geduldig ward, denn das war wirklich eine schwere Geburt.
Ihr ward echt super! :)
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![[]](http://www.geogebra.org/de/wiki/images/d/db/3D-Koordinatensystem.png){kind=small}
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