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Hello again Matheraum...
Erstmal dankeschön das ihr euch immer so viel Zeit nehmt und insbesondere mir das Mathematikverständnis um einiges leichter macht...
Doch leider habe ich immer mal wieder ein paar kleine Fragen und leider auch Unverständnis. Ich hoffe, dass eure Geduld mit mir nicht abbricht und danke euch sehr für eure Hilfe...
Nun (leider) zu meiner Frage:
Es wird folgendes von mir verlangt:
1. Aufgabenteil:
Es sei [mm] \vec{f}:]0,\infty[ [/mm] x [mm] \IR \rightarrow \IR^2, \vektor{R \\ \varphi} \mapsto \vektor{R sin \varphi \\ 3 R cos \varphi} [/mm] und g: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] eine differenzierbare Funktion.
Es sollen nun die Koordinatenlinien zu diesen Koordinaten gezeichnet werden.
Meine herangehensweise:
Ich skizziere zum einen für feste R [mm] \Rightarrow \varphi \mapsto \vec{f}(R, \varphi) [/mm] bzw. für feste [mm] \varphi \Rightarrow [/mm] R [mm] \mapsto \vec{f}(R, \varphi) [/mm] und erhalte, da das ganze ja nicht x [mm] \le [/mm] 0 sein darf, folgende Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe nun R [mm] \in \IN [/mm] gewählt, damit die Skizze einfacher wird. Aber kann auch kleinere als wie skizziert annehmen.
2. Aufgabenteil:
Ich soll die Ableitungen [mm] \bruch{\partial}{\partial R}(g(R [/mm] sin [mm] \varphi, [/mm] 3R cos [mm] \varphi)) [/mm] und [mm] \bruch{\partial}{\partial \varphi}(g(R [/mm] sin [mm] \varphi, [/mm] 3R cos [mm] \varphi)) [/mm] durch [mm] \bruch{\partial g}{\partial x}(R [/mm] sin [mm] \varphi, [/mm] 3R cos [mm] \varphi) [/mm] und [mm] \bruch{\partial g}{\partial y}(R [/mm] sin [mm] \varphi, [/mm] 3R cos [mm] \varphi) [/mm] ausdrücken.
Meine Frage zu zweitem Aufgabenteil wäre:
Reicht es, wenn ich R sin [mm] \varphi [/mm] =y setze und 3R cos [mm] \varphi [/mm] =x setze oder ist es besser, wenn ich schreibe R sin [mm] \varphi=\wurzel{x^2+y^2} [/mm] sin [mm] \varphi [/mm] und 3 R cos [mm] \varphi=3 \wurzel{x^2+y^2} [/mm] cos [mm] \varphi???
[/mm]
Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen... Danke für eure Hilfe.
mfg dodo4ever
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:55 Di 29.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Du mußt doch nur die Kettenregel bemühen !
Der Übersicht wegen sei $h(R, [mm] \varphi):= [/mm] g(rsin( [mm] \varphi),3Rcos( \varphi))$
[/mm]
Dann ist z:b::
$ [mm] \bruch{\partial}{ \partial R}h(R, \varphi)= g_x(rsin( \varphi),3Rcos( \varphi))*sin(\varphi)+g_y(rsin( \varphi),3Rcos( \varphi))*3cos(\varphi)$
[/mm]
FRED
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Hallo fred und danke für deine Hilfe...
Ich verstehe deinen Weg, denke aber, dass ich auf das selbe hinaus wollte.
Ich erhalte andererseits
[mm] \bruch{\partial}{ \partial \varphi}h(R, \varphi)= g_x(rsin( \varphi),3Rcos( \varphi))\cdot{}rcos(\varphi)-g_y(rsin( \varphi),3Rcos( \varphi))\cdot{}3Rsin(\varphi)
[/mm]
Nun aber zu meinem Weg:
Ich drücke [mm] \bruch{\partial}{\partial \varphi}(g(R [/mm] sin [mm] \varphi, [/mm] 3R cos [mm] \varphi)) [/mm] durch [mm] \bruch{\partial g}{\partial y}(R [/mm] sin [mm] \varphi, [/mm] 3R cos [mm] \varphi) [/mm] wie folgt aus:
Ich setze x=R sin [mm] \varphi [/mm] und y=3R [mm] cos\varphi
[/mm]
Es ergibt sich [mm] \bruch{\partial x}{\partial \varphi}=Rcos \varphi [/mm] und [mm] \bruch{\partial y}{\partial \varphi}=-3Rsin \varphi
[/mm]
Und ich erhalte somit:
[mm] \bruch{\partial}{\partial \varphi}(g(Rsin \varphi, [/mm] 3Rcos [mm] \varphi))=\bruch{\partial g}{\partial x} \cdot Rcos\varphi-\bruch{\partial g}{\partial y} \cdot [/mm] 3R sin [mm] \varphi
[/mm]
mit [mm] \bruch{\partial g}{\partial x}=g_x(rsin( \varphi),3Rcos( \varphi)) [/mm] und [mm] \bruch{\partial g}{\partial y}=g_y(rsin( \varphi),3Rcos( \varphi))
[/mm]
Hoffe das das so klappt... im nächsten Schritt soll ich das ganze nochmal in umgekehrter Richtung machen. Deshalb fand (zumindest ich) das so übersichtlicher...
Wie sieht es eigentlich mit der Skizze aus?????? War diese in Ordnung??????
mfg und mit bestem Dank dodo4ever
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Di 29.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Skizze mit all den kreisen, sind sicher nicht die Koordinatenlinien
im [mm] R,\phi- [/mm] System sind es einfach geraden parallel zu der r, [mm] \phi [/mm] Achse. Das ist sicher nicht gemeint. du sollst die linien R=const, [mm] \phi=const [/mm] in das x,yKoordinatensystem eintragen. die linien R=const sind aber [mm] x^2+y^2/3=R^2=Konst
[/mm]
die linien [mm] \phi=const [/mm]
findest du sicher.
also zeichne etwa mehrere ˜phi Linien schreib daran [mm] ˜phi=0,\pi/6 [/mm] , [mm] \pi/4, \pi\3 [/mm] und mindestens 3 Linien r=1,2,3
überzeug dich an den Schnittpunkten, dass x,y stimmt!
Gruss leduart
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Hallo und danke...
Ich dachte das ganze wird irgendwie eingegrenzt, denn es gilt ja:
Es sei [mm] \vec{f}:]0,\infty[ [/mm] x [mm] \IR \rightarrow \IR^2, \vektor{R \\ \varphi} \mapsto \vektor{R sin \varphi \\ 3 R cos \varphi} [/mm] und g: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] eine differenzierbare Funktion.
Ich habe nun folgendes für den Aufgabenteil 1 (Koordinatenlinien) skizziert:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Was ist mit dem 2. Aufgabenteil??? Ist die andere Schreibweise in Ordnung???
Also sprich:
Drück die Ableitungen [mm] \bruch{\partial}{\partial R}(g(R [/mm] sin [mm] \varphi, [/mm] 3R cos [mm] \varphi)) [/mm] und [mm] \bruch{\partial}{\partial \varphi}(g(R [/mm] sin [mm] \varphi, [/mm] 3R cos [mm] \varphi)) [/mm] durch [mm] \bruch{\partial g}{\partial x}(R [/mm] sin [mm] \varphi, [/mm] 3R cos [mm] \varphi) [/mm] und [mm] \bruch{\partial g}{\partial y}(R [/mm] sin [mm] \varphi, [/mm] 3R cos [mm] \varphi) [/mm] aus
Meine Lösung:
Ich drücke z.B. [mm] \bruch{\partial}{\partial \varphi}(g(R [/mm] sin [mm] \varphi, [/mm] 3R cos [mm] \varphi)) [/mm] durch [mm] \bruch{\partial g}{\partial y}(R [/mm] sin [mm] \varphi, [/mm] 3R cos [mm] \varphi) [/mm] wie folgt aus:
Ich setze x=R sin [mm] \varphi [/mm] und y=3R [mm] cos\varphi
[/mm]
Es ergibt sich [mm] \bruch{\partial x}{\partial \varphi}=Rcos \varphi [/mm] und [mm] \bruch{\partial y}{\partial \varphi}=-3Rsin \varphi
[/mm]
Und ich erhalte somit:
[mm] \bruch{\partial}{\partial \varphi}(g(Rsin \varphi, [/mm] 3Rcos [mm] \varphi))=\bruch{\partial g}{\partial x} \cdot Rcos\varphi-\bruch{\partial g}{\partial y} \cdot [/mm] 3R sin [mm] \varphi
[/mm]
mit [mm] \bruch{\partial g}{\partial x}=g_x(rsin( \varphi),3Rcos( \varphi)) [/mm] und [mm] \bruch{\partial g}{\partial y}=g_y(rsin( \varphi),3Rcos( \varphi))
[/mm]
mfg und danke nochmal dodo4ever
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 Di 29.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine skizze ist falsch. setz doch mal dein r und [mm] \phi r=1,\phi=\pi/4 [/mm] ein dann musste laut deiner Zeichng [mm] x=y=\wurzel{2} [/mm] rauskommen aber es müsste y)3y rauskommen! noch einfacher dein Punkt r=1 [mm] \phi=\pi/2 [/mm] du hast y=1 x=0
aber [mm] (rsin\pi/2,3rcos\pi/2=(1,0)??
[/mm]
Du hast einfach ein netz für die üblichen polarkoord. gezeichnet, es gehört zu [mm] (rcos\phi,rsin\phi) [/mm] und nicht zu deinem r!
nochmal für r fest hast du die Kurve [mm] x^2+y^2/9=r^2
[/mm]
also r=1: [mm] x^2+y^2/9=1 [/mm] das ist KEIN kreis.
ausserdem x=0 für [mm] \phi=0 [/mm] y=0 für [mm] \phi=\pi/2
[/mm]
Wenn du die richtigen kurven hast , überzeug dich mit 3 punkten dass sie auch stimmt.
deine d/dx usw sind richtig, und genau was fred aufgeschrieben hat nur dass du die ausdrücke in ner zweiten zeile erklärst, statt sie direkt einzusetzen.
Du machst also so was wie
x=2*y
Mit y=3
statt direkt x=6 hinzuschreiben, aber natürlich ist beides richtig.
Gruss leduart
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