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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:42 Di 17.01.2012 | | Autor: | murmel |
| Aufgabe | Gegeben sei das Potenzial
[mm]V \left(x, y, z\right) = \bruch{V_0}{a^3}\,x^2\,y\,z
[/mm]
a) Geben Sie das zugehörige Kraftfeld an!
b) Rechnen Sie V und F in Kugelkoordinaten um!
HINWEIS: Für [mm] $\vec [/mm] F$ heißt das, schreiben Sie [mm] $\vec [/mm] F$ als [mm] $F_r\,\vec{e}_r [/mm] + [mm] F_{\phi}\, \vec{e}_{\phi} [/mm] + [mm] F_{\theta}\,\vec{e}_\theta$ [/mm] und bestimmen Sie [mm] $F_r$, $F_{\phi}$ [/mm] und [mm] $F_{\theta}$. [/mm] |
Hallo ihr fleißigen Helfer,
könnte mir bitte jemand -der Zeit und Muse hat- mitteilen ob das Kraftfeld in Kugelkoordinaten richtig ist/ ob die Herangehensweise stimmt?
Für eure Hilfe bin ich euch dankbar!
Hier nun der Lösungsansatz:
-----------Das Potenzial------------
Mein Ansatz für [mm] $V(\varrho, \varphi, \vartheta)$ [/mm] in Kugelkoordinaten:
[mm] V(\varrho, \varphi, \vartheta) = \bruch{V_0\, \varrho^4 \sin^3 \vartheta\,\cos^2 \varphi\,\sin \varphi \, \cos \vartheta}{a^3} [/mm]
-----------Das Kraftfeld-----------
Ansatz für das Kraftfeld in kartesischen Koordinaten, mit [mm] $\vec{\nabla}\,V [/mm] = [mm] \vec [/mm] F$:
[mm]\vec F = \bruch{V_0}{a^3}\,\left( 2\,x\,y\,z, x^2\,z, x^2\,y \right)[/mm]
-durch Kugelkoordinaten ersetzen:
[mm]\vec F = \bruch{V_0}{a^3}\,\begin{pmatrix} 2\,\left(r\,\sin\theta\,\cos\phi\right)\,\left(r\,\sin\theta\,\sin\phi\right)\,\left( r\,\cos\theta \right) \\ \left( r^2\,\sin^2\theta\,\cos^2\phi \right)\,\left( r\,\cos\theta \right) \phantom{Platzhalter} \\ \left( r^2\,\sin^2\theta\,\cos^2\phi \right)\,\left( r\,sin\theta\,\sin\phi \right) \phantom{Platter} \end{pmatrix}[/mm]
-----Transformationsgleichungen----
Als "Transformationsgleichungen" (als Skalarprodukt) hat der Dozierende folgende Gleichungen verwendet:
[mm] F_r = \vec F \circ \vec{e}_r; \quad F_{\phi} = \vec F \circ \vec{e}_{\phi}; \quad F_{\theta} = \vec F \circ \vec{e}_{\theta} [/mm]
In vektorieller Schreibweise sind die Einheitsvektoren gegeben:
[mm]\vec{e}_r = \begin{pmatrix} \sin\theta\,\cos\phi \\ \sin\theta\,\sin\phi\\ \cos\theta \phantom{--\;\,\,}\end{pmatrix}; \qquad \vec{e}_{\phi} = \begin{pmatrix} -\sin\phi \\ \phantom{\;\,\,} \cos\phi \\ 0 \end{pmatrix}; \qquad \vec{e}_{\theta} = \begin{pmatrix} \cos\theta\,\cos\phi \\ \cos\theta\,\sin\phi \\ - \sin\theta \phantom{-\;\,\,} \end{pmatrix}[/mm]
-------------Finale----------------
entsprechend ersetzen:
[mm]F_r = \bruch{V_0}{a^3}\,\begin{pmatrix} 2\,\left(r\,\sin\theta\,\cos\phi\right)\,\left(r\,\sin\theta\,\sin\phi\right)\,\left( r\,\cos\theta \right) \\ \left( r^2\,\sin^2\theta\,\cos^2\phi \right)\,\left( r\,\cos\theta \right) \phantom{Platzhalter} \\ \left( r^2\,\sin^2\theta\,\cos^2\phi \right)\,\left( r\,sin\theta\,\sin\phi \right) \phantom{Platter} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} \sin\theta\,\cos\phi \\ \sin\theta\,\sin\phi\\ \cos\theta \phantom{--\;\,\,}\end{pmatrix};\qquad F_{\theta} = \bruch{V_0}{a^3}\,\begin{pmatrix} 2\,\left(r\,\sin\theta\,\cos\phi\right)\,\left(r\,\sin\theta\,\sin\phi\right)\,\left( r\,\cos\theta \right) \\ \left( r^2\,\sin^2\theta\,\cos^2\phi \right)\,\left( r\,\cos\theta \right) \phantom{Platzhalter} \\ \left( r^2\,\sin^2\theta\,\cos^2\phi \right)\,\left( r\,sin\theta\,\sin\phi \right) \phantom{Platter} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} \cos\theta\,\cos\phi \\ \cos\theta\,\sin\phi \\ - \sin\theta \phantom{-\;\,\,} \end{pmatrix}; \qquad F_{\phi} = \bruch{V_0}{a^3}\,\begin{pmatrix} 2\,\left(r\,\sin\theta\,\cos\phi\right)\,\left(r\,\sin\theta\,\sin\phi\right)\,\left( r\,\cos\theta \right)\\ \left( r^2\,\sin^2\theta\,\cos^2\phi \right)\,\left( r\,\cos\theta \right) \phantom{Platzhalter} \\ \left( r^2\,\sin^2\theta\,\cos^2\phi \right)\,\left( r\,sin\theta\,\sin\phi \right) \phantom{Platter} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -\sin\phi \\ \phantom{\;\,\,} \cos\phi \\ 0 \end{pmatrix};[/mm]
... und dann halt ausrechnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:40 Mi 18.01.2012 | | Autor: | murmel |
Ist die Frage so dämlich?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:48 Mi 18.01.2012 | | Autor: | chrisno |
Nein. Ich vermisse das Minuszeichen beim Zusammenhang zwischen Kraft und Potential. Die Rechnungen scheinen mir richtig zu sein. Nur den letzten Schritt, die Angabe der Kraft in Kugelkoordinaten, kann ich nicht beurteilen, da ich mir das erst selbst wieder aneignen müsste.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:57 Mi 18.01.2012 | | Autor: | murmel |
@chrisno
Oh ja, richtig, dass habe ich wohl vergessen! Danke für den Hinweis.
@notinX
Danke, dann kann die Klausur ja kommen... .
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:24 Mi 18.01.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Gegeben sei das Potenzial
> [mm]V \left(x, y, z\right) = \bruch{V_0}{a^3}\,x^2\,y\,z
[/mm]
>
>
> a) Geben Sie das zugehörige Kraftfeld an!
> b) Rechnen Sie V und F in Kugelkoordinaten um!
>
> HINWEIS: Für [mm]\vec F[/mm] heißt das, schreiben Sie [mm]\vec F[/mm] als
> [mm]F_r\,\vec{e}_r + F_{\phi}\, \vec{e}_{\phi} + F_{\theta}\,\vec{e}_\theta[/mm]
> und bestimmen Sie [mm]F_r[/mm], [mm]F_{\phi}[/mm] und [mm]F_{\theta}[/mm].
>
>
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> Hallo ihr fleißigen Helfer,
>
>
> könnte mir bitte jemand -der Zeit und Muse hat- mitteilen
> ob das Kraftfeld in Kugelkoordinaten richtig ist/ ob die
> Herangehensweise stimmt?
>
> Für eure Hilfe bin ich euch dankbar!
>
>
> Hier nun der Lösungsansatz:
>
> -----------Das Potenzial------------
>
> Mein Ansatz für [mm]V(\varrho, \varphi, \vartheta)[/mm] in
> Kugelkoordinaten:
>
> [mm]V(\varrho, \varphi, \vartheta) = \bruch{V_0\, \varrho^4 \sin^3 \vartheta\,\cos^2 \varphi\,\sin \varphi \, \cos \vartheta}{a^3}[/mm]
>
>
> -----------Das Kraftfeld-----------
>
> Ansatz für das Kraftfeld in kartesischen Koordinaten, mit
> [mm]\vec{\nabla}\,V = \vec F[/mm]:
>
> [mm]\vec F = \bruch{V_0}{a^3}\,\left( 2\,x\,y\,z, x^2\,z, x^2\,y \right)[/mm]
>
>
> -durch Kugelkoordinaten ersetzen:
>
>
> [mm]\vec F = \bruch{V_0}{a^3}\,\begin{pmatrix} 2\,\left(r\,\sin\theta\,\cos\phi\right)\,\left(r\,\sin\theta\,\sin\phi\right)\,\left( r\,\cos\theta \right) \\ \left( r^2\,\sin^2\theta\,\cos^2\phi \right)\,\left( r\,\cos\theta \right) \phantom{Platzhalter} \\ \left( r^2\,\sin^2\theta\,\cos^2\phi \right)\,\left( r\,sin\theta\,\sin\phi \right) \phantom{Platter} \end{pmatrix}[/mm]
>
> -----Transformationsgleichungen----
>
> Als "Transformationsgleichungen" (als Skalarprodukt) hat
> der Dozierende folgende Gleichungen verwendet:
>
> [mm]F_r = \vec F \circ \vec{e}_r; \quad F_{\phi} = \vec F \circ \vec{e}_{\phi}; \quad F_{\theta} = \vec F \circ \vec{e}_{\theta}[/mm]
>
>
> In vektorieller Schreibweise sind die Einheitsvektoren
> gegeben:
>
>
> [mm]\vec{e}_r = \begin{pmatrix} \sin\theta\,\cos\phi \\ \sin\theta\,\sin\phi\\ \cos\theta \phantom{--\;\,\,}\end{pmatrix}; \qquad \vec{e}_{\phi} = \begin{pmatrix} -\sin\phi \\ \phantom{\;\,\,} \cos\phi \\ 0 \end{pmatrix}; \qquad \vec{e}_{\theta} = \begin{pmatrix} \cos\theta\,\cos\phi \\ \cos\theta\,\sin\phi \\ - \sin\theta \phantom{-\;\,\,} \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> -------------Finale----------------
>
> entsprechend ersetzen:
>
>
>
> [mm]F_r = \bruch{V_0}{a^3}\,\begin{pmatrix} 2\,\left(r\,\sin\theta\,\cos\phi\right)\,\left(r\,\sin\theta\,\sin\phi\right)\,\left( r\,\cos\theta \right) \\ \left( r^2\,\sin^2\theta\,\cos^2\phi \right)\,\left( r\,\cos\theta \right) \phantom{Platzhalter} \\ \left( r^2\,\sin^2\theta\,\cos^2\phi \right)\,\left( r\,sin\theta\,\sin\phi \right) \phantom{Platter} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} \sin\theta\,\cos\phi \\ \sin\theta\,\sin\phi\\ \cos\theta \phantom{--\;\,\,}\end{pmatrix};\qquad F_{\theta} = \bruch{V_0}{a^3}\,\begin{pmatrix} 2\,\left(r\,\sin\theta\,\cos\phi\right)\,\left(r\,\sin\theta\,\sin\phi\right)\,\left( r\,\cos\theta \right) \\ \left( r^2\,\sin^2\theta\,\cos^2\phi \right)\,\left( r\,\cos\theta \right) \phantom{Platzhalter} \\ \left( r^2\,\sin^2\theta\,\cos^2\phi \right)\,\left( r\,sin\theta\,\sin\phi \right) \phantom{Platter} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} \cos\theta\,\cos\phi \\ \cos\theta\,\sin\phi \\ - \sin\theta \phantom{-\;\,\,} \end{pmatrix}; \qquad F_{\phi} = \bruch{V_0}{a^3}\,\begin{pmatrix} 2\,\left(r\,\sin\theta\,\cos\phi\right)\,\left(r\,\sin\theta\,\sin\phi\right)\,\left( r\,\cos\theta \right)\\ \left( r^2\,\sin^2\theta\,\cos^2\phi \right)\,\left( r\,\cos\theta \right) \phantom{Platzhalter} \\ \left( r^2\,\sin^2\theta\,\cos^2\phi \right)\,\left( r\,sin\theta\,\sin\phi \right) \phantom{Platter} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -\sin\phi \\ \phantom{\;\,\,} \cos\phi \\ 0 \end{pmatrix};[/mm]
>
> ... und dann halt ausrechnen.
>
sieht gut aus.
Gruß,
notinX
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