Koordinatentransformation < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:24 Fr 29.06.2012 | | Autor: | Myth |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass durch
[mm]\vec{x}(u,v):=(arctan(u+v),arctan(u-v))[/mm]
eine [mm]C^{\infty}-Koordinatentransformation[/mm] [mm] \IR^2 \to ]-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}[^2 [/mm] definiert wird. Geben Sie die Einheitsvektoren [mm] \vec{e_{u}}, \vec{e_{v}} [/mm] an und berechnen Sie den Maßtensor. Liegen orthogonale generalisierte Koordinaten vor? |
Hallo zusammen!
Ich weiß hier nicht ganz, wie genau man das machen muss. Ich weiß, dass sich der arctan(x) asymptotisch an [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] bzw. [mm] -\bruch{\pi}{2} [/mm] für x gegen [mm] \infty [/mm] bzw. [mm] -\infty. [/mm] Also hab ich ja eine Wertemenge von [mm]arctan(x) \in ]-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}[[/mm]. Aber reicht das schon, um zu zeigen, dass das eine [mm] C^{\infty}-Koordinatentransformation [/mm] ist?
Gruß Myth
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Sa 30.06.2012 | | Autor: | Myth |
Ok, hab jetzt gesehen, dass das etwas mit der Umkehrfunktion zu tun hat. Ich hab die mal gebildet:
[mm]\vec{x}^{-1}=(\bruch{tan(u)+tan(v)}{2},\bruch{tan(u)-tan(v)}{2})[/mm]
Stimmt die Umkehrabbildung so und wenn ja, wie gehts dann weiter? Hoffe mir kann jemand helfen...
Gruß Myth
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:30 So 01.07.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Myth,
> Ok, hab jetzt gesehen, dass das etwas mit der
> Umkehrfunktion zu tun hat. Ich hab die mal gebildet:
>
> [mm]\vec{x}^{-1}=(\bruch{tan(u)+tan(v)}{2},\bruch{tan(u)-tan(v)}{2})[/mm]
>
> Stimmt die Umkehrabbildung so und wenn ja, wie gehts dann
> weiter? Hoffe mir kann jemand helfen...
>
Dies ist zwar die Umkehrabbildung, aber ich denke dies müßte vielleicht noch begründet werden.
Hierzu würde ich zeigen, daß [mm] $\vec [/mm] x$ surjektiv und injektiv ist. Zur Surjektivität kannst Du Deine Formel verwenden, zur Injektivität kannst Du die Injektivität von [mm] $\arctan$ [/mm] verwenden.
Dann liegen [mm] $\vec [/mm] x$ und [mm] $\vec x^{-1}$ [/mm] in [mm] $C^\infty$, [/mm] weil [mm] $\arctan$ [/mm] und [mm] $\tan$ [/mm] darin liegen.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 So 01.07.2012 | | Autor: | Myth |
>
> Dies ist zwar die Umkehrabbildung, aber ich denke dies
> müßte vielleicht noch begründet werden.
>
> Hierzu würde ich zeigen, daß [mm]\vec x[/mm] surjektiv und
> injektiv ist. Zur Surjektivität kannst Du Deine Formel
> verwenden, zur Injektivität kannst Du die Injektivität
> von [mm]\arctan[/mm] verwenden.
>
> Dann liegen [mm]\vec x[/mm] und [mm]\vec x^{-1}[/mm] in [mm]C^\infty[/mm], weil
> [mm]\arctan[/mm] und [mm]\tan[/mm] darin liegen.
Zur Injektivität: Das heißt ja, dass [mm] \vec{x}(u,v) [/mm] jeden Wert nur einmal annimmt. Der arctan ist eine monoton steigende punktsymmetrische Funktion, die somit auch injektiv ist. Reicht das als Begründung?
Zur Surjektivität: Wenn die Funktion [mm] \vec{x}(u,v) [/mm] surjektiv sein soll, muss sie jeden Wert mindestens einmal annehmen. Kann man da nicht dieselben Kriterien heranziehen wie für injektivität. Also der arctan hat eine Wertemenge W [mm] \in ]-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}[ [/mm] und ist wie gesagt stetig monoton steigend. Also nimmt er im [mm] \IR^2 [/mm] alle Werte in seiner Wertemenge mindestens einmal an und ist somit surjektiv.
Gruß Myth
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:58 So 01.07.2012 | | Autor: | Helbig |
> Zur Injektivität: Das heißt ja, dass [mm]\vec{x}(u,v)[/mm] jeden
> Wert nur einmal annimmt. Der arctan ist eine monoton
> steigende punktsymmetrische Funktion, die somit auch
> injektiv ist. Reicht das als Begründung?
Nein! Für $(u,v)=(0,2)$ und $(u',v')=(1,1)$ ist [mm] $\arctan (u+v)=\arctan(u'+v')$.
[/mm]
Du mußt beide Komponenten gleichzeitig betrachten. Du willst zeigen:
Aus [mm] $\vec x(u,v)=\vec [/mm] x (u',v')$ folgt $(u,v)=(u',v')$.
Dies geht etwa so: Aus
[mm] $\bigl(\arctan (u+v),\, \arctan (u-v)\bigr) [/mm] = [mm] \bigl(\arctan (u'+v'),\, \arctan(u'-v')\bigr)$ [/mm]
folgt mit der Injektivität von [mm] $\arctan$
[/mm]
$u+v = u' + v'$ und $u-v = u' - v'$
und hieraus $(u, v) = (u',v')$.
>
> Zur Surjektivität: Wenn die Funktion [mm]\vec{x}(u,v)[/mm]
> surjektiv sein soll, muss sie jeden Wert mindestens einmal
> annehmen. Kann man da nicht dieselben Kriterien heranziehen
> wie für injektivität. Also der arctan hat eine Wertemenge
> W [mm]\in ]-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}[[/mm] und ist wie gesagt
> stetig monoton steigend. Also nimmt er im [mm]\IR^2[/mm] alle Werte
> in seiner Wertemenge mindestens einmal an und ist somit
> surjektiv.
Dies reicht nicht . Zu [mm] $(\phi, \psi) \in (-\pi/2, \pi/2)\times (-\pi/2, \pi/2)$ [/mm] mußt Du ein $(u, v)$ mit
[mm] $\bigl(\arctan (u+v),\, \arctan (u-v)\bigr) [/mm] = [mm] (\phi,\psi)$
[/mm]
finden.
Und dies klappt mit Deiner Formel der Umkehrfunktion.
Gruß,
Wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 So 01.07.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Myth!
> Zeigen Sie, dass durch
>
> [mm]\vec{x}(u,v):=(arctan(u+v),arctan(u-v))[/mm]
>
> eine [mm]C^{\infty}-Koordinatentransformation[/mm] [mm]\IR^2 \to ]-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}[^2[/mm]
> definiert wird. Geben Sie die Einheitsvektoren [mm]\vec{e_{u}}, \vec{e_{v}}[/mm]
> an und berechnen Sie den Maßtensor. Liegen orthogonale
> generalisierte Koordinaten vor?
> Hallo zusammen!
>
> Ich weiß hier nicht ganz, wie genau man das machen muss.
> Ich weiß, dass sich der arctan(x) asymptotisch an
> [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] bzw. [mm]-\bruch{\pi}{2}[/mm] für x gegen [mm]\infty[/mm]
> bzw. [mm]-\infty.[/mm] Also hab ich ja eine Wertemenge von [mm]arctan(x) \in ]-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}[[/mm].
> Aber reicht das schon, um zu zeigen, dass das eine
> [mm]C^{\infty}-Koordinatentransformation[/mm] ist?
Du musst auf jeden Fall nachweisen, dass die Abbildung bijektiv und beliebig oft differenzierbar ist.
Tipp: Schreibe die Abbildung als Komposition [mm] $f\circ [/mm] g$ mit
[mm] g(u,v) = (u+v,u-v) [/mm], [mm] f(a,b) = (\arctan a, \arctan b) [/mm] .
g als lineare Abbildung ist bijektiv und [mm] $C^\infty$, [/mm] und f transformiert jede Koordinate für sich. Außerdem ist
[mm] \arctan : ]-\pi/2,+\pi/2[ \to \IR [/mm]
eine bijektive Abbildung.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:25 So 01.07.2012 | | Autor: | Myth |
> Du musst auf jeden Fall nachweisen, dass die Abbildung
> bijektiv und beliebig oft differenzierbar ist.
>
> Tipp: Schreibe die Abbildung als Komposition [mm]f\circ g[/mm] mit
>
> [mm]g(u,v) = (u+v,u-v) [/mm], [mm]f(a,b) = (\arctan a, \arctan b)[/mm] .
>
> g als lineare Abbildung ist bijektiv und [mm]C^\infty[/mm], und f
> transformiert jede Koordinate für sich. Außerdem ist
>
> [mm]\arctan : ]-\pi/2,+\pi/2[ \to \IR[/mm]
>
> eine bijektive Abbildung.
Vielen Dank für den Hinweis! Mit so einem Tipp lässt es sich gut nachweisen, nur leider komm ich selbst nur selten auf diese Tricks...
Gruß Myth
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 19:47 Mo 02.07.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Rainer
> g als lineare Abbildung ist bijektiv und [mm]C^\infty[/mm], und f
Diese Begründung ist nicht ganz richtig: Es gibt lineare Abbildungen, die nicht bijektiv sind.
Gruß,
Wolfgang
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