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Es geht um eine Frage zur Koordinatentransformation im Raum. Ein Ursprungskoordinatensystem soll gedreht werden um die x, y und z-Achse.
Gegeben:
Ursprungskoordinatensystem sowie gedrehtes Koordinatensystem
Drehwinkel um die x, y, z-Achse (alpha/beta/gamma)
Punkt bezogen auf das gedrehte Koordinatensystem (x'/y'/z')
Gesucht:
Punkt bezogen auf das Ursprungskoordinatensystem (x/y/z)
x=f(alpha, beta, gamma, x', y', z')
y=f(alpha, beta, gamma, x', y', z')
z=f(alpha, beta, gamma, x', y', z')
Papula (Mathematische Formelsammlung, 9.Auflage) behandelt das Problem auf Seite 43 in der Ebene, leider finde ich nichts zu der Behandlung im Raum.
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> Es geht um eine Frage zur Koordinatentransformation im
> Raum. Ein Ursprungskoordinatensystem soll gedreht werden um
> die x, y und z-Achse.
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> Gegeben:
> Ursprungskoordinatensystem sowie gedrehtes
> Koordinatensystem
> Drehwinkel um die x, y, z-Achse (alpha/beta/gamma)
> Punkt bezogen auf das gedrehte Koordinatensystem
> (x'/y'/z')
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> Gesucht:
> Punkt bezogen auf das Ursprungskoordinatensystem (x/y/z)
> x=f(alpha, beta, gamma, x', y', z')
> y=f(alpha, beta, gamma, x', y', z')
> z=f(alpha, beta, gamma, x', y', z')
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> Papula (Mathematische Formelsammlung, 9.Auflage) behandelt
> das Problem auf Seite 43 in der Ebene, leider finde ich
> nichts zu der Behandlung im Raum.
Hallo Chäs - Michel ...  ... sorry - chezmichel,
ich nehme also an, dass du die [mm] 2\times{2}- [/mm] Matrix für
eine Drehung in der x-y-Ebene hast:
[mm] $\pmat{cos(\gamma)&-sin(\gamma)\\sin(\gamma)&cos(\gamma)}$
[/mm]
Diese kann man zu einer Matrix für eine Drehung
des [mm] \/R^3 [/mm] um die z-Achse ergänzen:
$\ [mm] D_z(\gamma)=\pmat{cos(\gamma)&-sin(\gamma)&0\\sin(\gamma)&cos(\gamma)&0\\0&0&1}$
[/mm]
Nun kann man analoge Matrizen [mm] D_x(\alpha) [/mm] und [mm] D_y(\beta) [/mm] für
die Drehungen um die anderen Achsen aufstellen. Die
gesamte Drehmatrix (wenn man diese überhaupt aus-
rechnen will bzw. muss, ergibt sich dann als Produkt
der einzelnen Drehmatrizen.
LG Al-Chw.
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Hallo Al-...
wenn ich richtig verstehe, ergeben sich die anderen beiden Matrizen zu
[mm] D_y(\beta)=\begin{pmatrix}
sin(\beta) & 0 &cos(\beta) \\
0 & 1 & 0 \\
cos(\beta) & 0 & -sin(\beta)
\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] D_x(\alpha)=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & sin(\alpha) & cos(\alpha) \\
0 & cos(\alpha) & -sin(\alpha)
\end{pmatrix}
[/mm]
Multipliziert man
[mm] D_z(\gamma) \cdot D_y(\beta) \cdot D_x(\alpha)
[/mm]
Ergibt sich
[mm] \begin{pmatrix}
cos(\gamma)sin(\beta) & cos(\alpha)cos(\beta)cos(\gamma)-sin(\alpha)sin(\gamma) & -cos(\beta)cos(\gamma)sin(\alpha)-cos(\alpha)sin(\gamma) \\
sin(\beta)sin(\gamma) & cos(\gamma)sin(\alpha)+cos(\alpha)cos(\beta)sin(\gamma) & cos(\alpha)cos(\gamma)-cos(\beta)sin(\alpha)sin(\gamma) \\
cos(\beta) & -cos(\alpha)sin(\beta) & sin(\alpha)sin(\beta)
\end{pmatrix}
[/mm]
Stimmt das?
Gibt es vielleicht eine Lektüre, wo man das nochmal nachlesen kann?
Grüße, Käs-Michel
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> Hallo Al-...
> wenn ich richtig verstehe, ergeben sich die
> anderen beiden Matrizen zu
>
> [mm]D_y(\beta)=\begin{pmatrix}
sin(\beta) & 0 &cos(\beta) \\
0 & 1 & 0 \\
cos(\beta) & 0 & -sin(\beta)
\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]D_x(\alpha)=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & sin(\alpha) & cos(\alpha) \\
0 & cos(\alpha) & -sin(\alpha)
\end{pmatrix}[/mm]
> Grüße, Käs-Michel
Hallo Michel,
es kommt darauf an, wie man die Drehwinkel
genau definiert. Ich habe angenommen, dass
alle drei Drehwinkel nach der gleichen Orien-
tierungsregel festgelegt werden:
Drehung mit [mm] \gamma=90° [/mm] um die z-Achse dreht
die positive x-Achse in die pos. y-Achse,
Drehung mit [mm] \beta=90° [/mm] um die y-Achse dreht
die positive z-Achse in die pos. x-Achse,
Drehung mit [mm] \alpha=90° [/mm] um die x-Achse dreht
die positive y-Achse in die pos. z-Achse.
Damit bekomme ich:
[mm]D_x(\alpha)=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\
0 & cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\
0 & sin(\alpha) & cos(\alpha)
\end{pmatrix}[/mm]
[mm]D_y(\beta)=\begin{pmatrix}
cos(\beta) & 0 &sin(\beta) \\
0 & 1 & 0 \\
-sin(\beta) & 0 & cos(\beta)
\end{pmatrix}[/mm]
Das Produkt der drei Matrizen würde ich z.B.
in einem Programm nur dann wirklich berechnen
lassen, wenn mit der gleichen Winkelkombi-
nation sehr viele Punkte gedreht werden müssten.
Andernfalls ist es einfacher, die drei Elementar-
drehungen nacheinander auszuführen.
> Gibt es vielleicht eine Lektüre, wo man das
> nochmal nachlesen kann?
zum Beispiel da: ![[]](/images/popup.gif) Drehmatrizen
LG  Al-Chäsirmi
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