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Guten abend.
Ich habe ein Problem. Und zwar musste ich in einer Aufgabe eine Matrix A mit dem gram Schmidt Verfahren in eine ONB bringen. Das hat auch wunderbar geklappt. Die nächste Aufgabe besteht darin, den koordinatenvektor von [mm] x=\vektor{-1 \\ 2 \\ 4 \\ 0} [/mm] bezüglich dieser Basis zu bestimmen. Das einfachste wäre doch ein LGS, welches ich dann in die NZSF bringe und nach diem Vektor x auflöse. Hoffe ihr versteht was ich meine. Würdet ihr mir dabei zustimmen?
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Hallo!
Da stimme ich dir leider nicht zu. Du benötigst eigentlich nur das Skalarprodukt. Multipliziere deinen Vektor einfach mit jedem deiner ONB-Vektoren, und du bekommst die Komponenten bezüglich dieser Vektoren.
Du kannst das ja erstmal an Hand der kanonischen Basis ausprobieren.
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Gut dann leider nicht!  .
Meine ONB lautet nun:
[mm] \vmat{ \bruch{1}{\wurzel{2}} & 0 & 0 & \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ 0 & \bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} & 0 \\ 0 & \bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{-1}{\wurzel{2}} & 0\\ \bruch{-1}{\wurzel{2}} & 0 & 0 & \bruch{1}{\wurzel{2}} }
[/mm]
Gut. Wenn ich das jetzt, wie du mir geraten hast, jeden einzelnen Vektor meiner ONB mit dem Vektor [mm] x=\vektor{ -1\\ 2\\ 4\\ 0} [/mm] multipliziere, erhalte ich:
[mm] \vektor{\bruch{-1}{\wurzel{2}} \\ 0 \\ 0 \\ 0 },\vektor{0 \\ \bruch{2}{\wurzel{2}} \\ \bruch{4}{\wurzel{2}} \\ },\vektor{ 0\\ \bruch{2}{\wurzel{2}} \\ \bruch{-4}{\wurzel{2}} \\ 0 },\vektor{ \bruch{-1}{\wurzel{2}}\\ 0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
Und wie soll es dann weiter gehen?
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Hallo!
Nee, da hast du mich falsch verstanden.
Wenn du deine ONB als Matrix hinschreibst, bekommst du die Abbildung, die von deiner ONB in die kanonische Basis transformiert.
Um jetzt aber einen Vektor von der kanonischen Basis in deine ONB zu transformieren, bräuchtest du die Umkehrabbilung dieser Matrix.
Sofern es dir aber nur um die Darstellung dieses einzelnen Vektors geht, ist es schneller, wenn du den Vektor mit dem 1.ONB-Vektor multiplizierst. Heraus kommt eine Zahl, die die erste Komponente darstellt.
Multiplizierst du den Vektor mit dem 2. ONB-Vektor, bekommst du die 2. Komponente...
Prinzipiell ist das sowas:
[mm] \vektor{a \\ b}*\vektor{1\\0}=a [/mm] (1. Komponente)
[mm] \vektor{a \\ b}*\vektor{0\\1}=b [/mm] (2. Komponente)
nur eben mit mehr Dimensionen, und anderen ONB-Vektoren.
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Gut. Aber habe ich das nicht gemacht? Also ich habe eigentlich jeden ONB- Vektor mit [mm] \vec{a} [/mm] multipliziert. Oder muss ich jetzt vorher noch irgendetwas invertieren bzw. umkehren?
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Nein, du bist bereits fertig. Einfach die Zahlen untereinander schreiben, und du hast den Vektor in der neuen basis ausgedrückt.
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Kann man das so ausdrücken?:
der Koordinatenvektor [mm] \vec{x} [/mm] von [mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \vektor{v_1 \\ ... \\ v_n} [/mm] bezügl. der ONB [mm] B=\{b_1, b_2, ...,b_n\} [/mm] lautet [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{<\vec{v},b_1> \\ ... \\ <\vec{v},b_n>}
[/mm]
wobei <,> das Standardskalarprodukt ist
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:45 Fr 01.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Kann man das so ausdrücken?:
>
> der Koordinatenvektor [mm]\vec{x}[/mm] von [mm]\vec{v}[/mm] = [mm]\vektor{v_1 \\ ... \\ v_n}[/mm]
> bezügl. der ONB [mm]B=\{b_1, b_2, ...,b_n\}[/mm] lautet [mm]\vec{x}[/mm] =
> [mm]\vektor{<\vec{v},b_1> \\ ... \\ <\vec{v},b_n>}[/mm]
>
> wobei <,> das Standardskalarprodukt ist
Ja:
Da [mm]B=\{b_1, b_2, ...,b_n\}[/mm] eine Basis ist, ex. Skalare [mm] $t_1, ...,t_n$ [/mm] mit
$ [mm] \vec{v}=\summe_{i=1}^{n}t_ib_i$
[/mm]
Multipliziert man mit [mm] b_j, [/mm] so bekommt man:
$ [mm] <\vec{v},b_j>=t_j$
[/mm]
Also:
$ [mm] \vec{v}=\summe_{i=1}^{n}<\vec{v},b_i>b_i$
[/mm]
FRED
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