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Hallo
Für alle. die richtig fit in Mathe sind eine kleine Bitte:
Könnt ihr die Ungleichung einmal nachrechnen und mir eure Lösung nennen?
Ich komme auf das Intervall 1,5 und 3, wobei 1,5 darin enthalten ist und 3 nicht.
Danke :0)
[mm] \bruch{ \vmat{x-3}}{x^2-5x+6} \ge [/mm] 2
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Ich habe als Lösungsmenge:
[mm] \IL [/mm] = [mm] \{1,5 < x < 2 \vee 2 < x < 2,5 \vee 2,5 < x < 3\}
[/mm]
Wenn man die Ungleichung umstellt bekommt man nämlich noch die 2 und die 2,5 als Grenzen.
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Hm.....uns wure die Lösung 1,5 und 2 gegeben, 1,5 ist in dem Integral entahlten, die 2 nicht.
Ich habe die Aufgabe nun schon 3 mal gerechnet und komme aber immer auf 1,5 und 3.... wobei 1,5 enthalten ist und die 3 nicht...
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Du meinst wohl Intervall, nicht Integral.
Also ich bin folgendermaßen vorgegangen:
- Zuerst auf Definitionslücken untersuchen (ergab 3 und 2)
- Dann das [mm] \ge [/mm] durch ein $=_$ ersetzten und die Gleichung lösen (ergab 3, 3, 2.5, 1.5)
- Zuletzt schaust du, ob die Bereiche zwischen den gefundenen Stellen die URungleichung erfüllen oder nicht und dementsprechend Lösung oder nicht sind.
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Darf ich bei einer Ungleichung einfach das Ungleichheitszeichen durch ein Gleichheitszeichen ersetzen???????????
Ich muss aber doch schauen ob ich mit einem positiven oder negativen nenner multipliziere und demnach das Ungleichheitszeichen anpassen....
DAs find eich nun komisch :/
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Hallo rotespinne!
> Darf ich bei einer Ungleichung einfach das
> Ungleichheitszeichen durch ein Gleichheitszeichen
> ersetzen???????????
Das kann man als Nebenrechnung so machen, empfehle ich aber nicht, da hier schnell Lösungen verloren gehen können, wenn sich evtl. das Ungleichheitszeichen umkehrt.
> Ich muss aber doch schauen ob ich mit einem positiven oder
> negativen nenner multipliziere und demnach das
> Ungleichheitszeichen anpassen....
Völlig richtig! In meiner Rechnung musst Du dabei folgende Fälle unterscheiden:
$x \ [mm] \ge [/mm] \ 3$
$3 \ > \ x \ > \ 2$
$2 \ > \ x$
Gruß vom
Roadrunner
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Moin rotespinne!
Hier mal meine Lösung: $L \ = \ [mm] \left\{ \ \bruch{3}{2} \ \le \ x \ < \ 2 \ \right\}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Hi Roadrunner :0)
Auf die 1,5 komme ich auch aber einfach nicht auf die 2.....
Ich poste meine Lösung mal, dann kannst du wieder berichtigen bis wohin ich richtig war und was falsch ist.
Danke :0)
[mm] \bruch{ \vmat{x-3}}{x^2-5x+6} \ge [/mm] 2
Voraussetzung : [mm] x^2-5x+6 \not= [/mm] 0
Nenner umgeschrieben in: (x-2)(x-3)
Ergibt dann: [mm] \bruch{ \vmat{x-3}}{(x-2)(x-3)}
[/mm]
1.Fall: [mm] \vmat{x-3} \ge [/mm] 0 , daraus folgt x [mm] \ge [/mm] 3
[mm] \bruch{(x-3)}{(x-2)(x-3)} \ge [/mm] 2 --> [mm] \bruch{1}{(x-2)} \ge2
[/mm]
Nun möchte ich mit (x-2) multiplizieren. Da ich eine Ungleichung habe muss ich zwei Fälle unterscheiden, nämlich ob der nenner positiv oder negativ ist ( wegen dem Ungleichheitszeichen, da ich es ggf. mitdrehen muss! ).
Der Nenner ist positiv wenn (x-2) > o ist --> x>2
Ist der Nenner also positiv erhalte ich: 1 [mm] \ge [/mm] 2x-4
Nach weiteren Umwandlungen erhalte ich: 5 [mm] \ge [/mm] 2x
und daraus folgt 2,5 [mm] \ge [/mm] x
Demnach bekomme ich hier keine Lösung, da im Fall 1 ( ganz oben ) festgelegt wurde dass x [mm] \ge [/mm] 3 ist.
Nun zum negativen Nenner:
negativ ist er, wenn (x-2) < o ist. Dann wäre x<2. Diesen Fall brauche ich hier jedoch nicht betrachten da in Fall 1 x [mm] \ge [/mm] 3 festgelegt wurde ( oder muss ich ihn trotzdem betrachten??? Hier bin ich unsicher! )
Fall 2: [mm] \vmat{x-3}<0 [/mm] d.h [mm] -\vmat{x-3} [/mm] = 3-x
Dann habe ich also folgende Ungleichung:
[mm] \bruch{3-x}{(x-2)(x-3)} \ge [/mm] 2
Auich hier muss ich wieder die Nenner betrachten. Mein Nenner wäre hier negativ wenn ein Faktor <0, der andere >0 ist.
Fall 2.1 (x-2)<0 und (x-3) >0
ergibt x<2 UND x>3. Das ist jedoch ein Widerspruch, d.h nicht relevant für mich.
Fall 2.2 (x-2)>0 und (x-3)>0
ergibt x>2 und x<3.
D. h 2 < x < 3
Nun kann ich meine Umformungen durchführen:
[mm] \bruch{3-x}{(x-2)(x-3)} \ge [/mm] 2 multiplizieren mit (x-2)(x-3) (negativ!)
3-x [mm] \le [/mm] 2 [mm] (x^2-5x+6)
[/mm]
3-x [mm] \le 2x^2-10x+12 [/mm] 3 subtrahieren, x addieren
0 [mm] \le 2x^2-9x+9 [/mm] durch 2 dividieren
0 [mm] \le x^2 [/mm] - 4,5x - 4,5
Nach der PQ Formel bekomme ich nun x1 = 1,5 und x2 = 3
Acuh hier erhalte ich somit keine Lösung weil 2 < x < 3 meine Voraussetzung ist.
Nun schaue ich das ganze für einen positiven Nenner an: entweder wenn beide Faktoren <0 oder beide >0 sind.
Fall 2.3 (x-2) >0 und (x-3)> 0
ergibt x>2 UND x>3 d. h. x>3
Fall 2.4 (x-2)<0 UND (x-3)<0
ergibt : x<2 UND x<3 , d.h x<2.
Nun wieder meine Gleichung umformen, dann erhalte ich wie vorhin ( nur das Ungleichheitszeichen ist andersherum )
0 [mm] \ge x^2-4,5x+4,5
[/mm]
Auch hier als Lösung wieder 3 und 1,5.
1,5 liegt in unsere Vorgabe daher ist es eine Lösung, die 3 liegt wiederum nicht drin, daher keine Lösung.
Freue mich über Hinweise wo ich was falsch gemacht habe.
Danke :0)
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Hallo rotespinne!
> [mm]\bruch{ \vmat{x-3}}{x^2-5x+6} \ge[/mm] 2
>
> Voraussetzung : [mm]x^2-5x+6 \not=[/mm] 0
>
> Nenner umgeschrieben in: (x-2)(x-3)
> Ergibt dann: [mm]\bruch{ \vmat{x-3}}{(x-2)(x-3)}[/mm]
>
> 1.Fall: [mm]\vmat{x-3} \ge[/mm] 0 , daraus folgt x [mm]\ge[/mm] 3
>
> [mm]\bruch{(x-3)}{(x-2)(x-3)} \ge[/mm] 2 --> [mm]\bruch{1}{(x-2)} \ge2[/mm]
>
> Nun möchte ich mit (x-2) multiplizieren. Da ich eine
> Ungleichung habe muss ich zwei Fälle unterscheiden, nämlich
> ob der nenner positiv oder negativ ist ( wegen dem
> Ungleichheitszeichen, da ich es ggf. mitdrehen muss! ).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Der Nenner ist positiv wenn (x-2) > o ist --> x>2
Und das ist auf jeden Fall erfüllt, da wir ja im Fall 1 gelten haben: $x \ [mm] \ge [/mm] \ 3 \ > \ 2$ !
> Ist der Nenner also positiv erhalte ich: 1 [mm]\ge[/mm] 2x-4
>
> Nach weiteren Umwandlungen erhalte ich: 5 [mm]\ge[/mm] 2x
> und daraus folgt 2,5 [mm]\ge[/mm] x
>
> Demnach bekomme ich hier keine Lösung, da im Fall 1 ( ganz
> oben ) festgelegt wurde dass x [mm]\ge[/mm] 3 ist.
Genau!
> Nun zum negativen Nenner:
> negativ ist er, wenn (x-2) < o ist. Dann wäre x<2. Diesen
> Fall brauche ich hier jedoch nicht betrachten da in Fall 1
> x [mm]\ge[/mm] 3 festgelegt wurde ( oder muss ich ihn trotzdem
> betrachten??? Hier bin ich unsicher! )
Nein, durch diesen Widerspruch ist dieser Fall erledigt!
> Fall 2: [mm]\vmat{x-3}<0[/mm] d.h [mm]-\vmat{x-3}[/mm] = 3-x
>
>
> Dann habe ich also folgende Ungleichung:
>
> [mm]\bruch{3-x}{(x-2)(x-3)} \ge[/mm] 2
Schreibe im Zähler lieber $-(x-3)_$ , dann siehst Du schnell, dass Du kürzen kannst zu:
[mm] $\bruch{-1}{x-2} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 2$
> Auich hier muss ich wieder die Nenner betrachten. Mein
> Nenner wäre hier negativ wenn ein Faktor <0, der andere >0
> ist.
> Fall 2.1 (x-2)<0 und (x-3) >0
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Wir sind im Fall 2 mit $x \ [mm] \red{<} [/mm] \ 3$ !
> ergibt x<2 UND x>3. Das ist jedoch ein Widerspruch, d.h
> nicht relevant für mich.
Dadurch ergibt sich hier zunächst der Fall $x-2 \ < \ 0$ sowie $x \ < \ 3$ , oder kürzer geschrieben: $x \ < \ 2$ .
Rechnung? Dran denken, hier dreht sich das Vorzeichen bei der Multiplikation mit dem Nenner $x-2_$ um!
$-1 \ [mm] \red{\ge} [/mm] \ 2x-4$
> Fall 2.2 (x-2)>0 und (x-3)>0 ergibt x>2 und x<3.
Widerspruch in Deiner Zeile ... wir sind bei $x-3 \ [mm] \red{<} [/mm] \ 0$ (Tippfehler?).
Dadurch ergibt sich hier zunächst der Fall $x-2 \ > \ 0$ sowie $x \ < \ 3$ , oder kürzer geschrieben: $2 \ < \ x \ < \ 3$ .
> D. h 2 < x < 3
> Nun kann ich meine Umformungen durchführen:
>
> [mm]\bruch{3-x}{(x-2)(x-3)} \ge[/mm] 2 multiplizieren mit
> (x-2)(x-3) (negativ!)
Erst kürzen! Dann hast Du: $-1 \ [mm] \le [/mm] \ 2*(x-2) \ = \ 2x-4$
Und Du hast keine quadratischen Term mehr ...
> Fall 2.3 (x-2) >0 und (x-3)> 0
> ergibt x>2 UND x>3 d. h. x>3
>
>
> Fall 2.4 (x-2)<0 UND (x-3)<0
Diese Fälle sind unnötig! Fall 2.3 ist im Fall 1 enthalten!
Fall 2.4 ist Fall 2.1
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:41 Do 08.06.2006 | | Autor: | rotespinne |
Danke :0)
Langsam aber sicher kommts.
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