Korrekturadische Darstellung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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[mm] 25.\\
[/mm]
Zu berechnen: die 12-adische Entwicklung von [mm] $\frac{1}{5}$.\\
[/mm]
Mein Verfahren beruht auf: $0,abcd..._{12}$ wobei gilt: [mm] $\frac{1}{5}=\frac{a}{5}+\frac{b}{5^2}+\frac{c}{5^3}+...$.\\
[/mm]
[mm] $\frac{1}{5}*12=2+\frac{2}{5}$ [/mm] die erste Stelle nach dem Komma ist also 2 und [mm] $\frac{2}{5}$ [/mm] wird in dem nächsten Schritt [mm] malgenommen.\\
[/mm]
[mm] $\frac{2}{5}*12=4+\frac{4}{5}$ [/mm] die 2. Stelle ist daher die 4, Rest [mm] s.o..\\
[/mm]
[mm] $\frac{4}{5}*12=9+\frac{3}{5}$ [/mm] 3. Stelle ist die [mm] 9.\\
[/mm]
[mm] $\frac{3}{5}*12=7+\frac{1}{5}$ [/mm] Die 4. und letzte Stelle (fuer die periodische Darstellung) ist also die 7, da wir [mm] $\frac{1}{5}$ [/mm] am Anfang schon [mm] hatten.\\
[/mm]
Die Darstellung von [mm] $\frac{1}{5}_{10}$ [/mm] im 12er Zählsystem ist daher [mm] $0,\overline{2497}$.\\\\
[/mm]
Zu berechnen: die 12-adische Entwicklung von [mm] $\frac{1}{7}$.\\
[/mm]
[mm] $\frac{1}{7}*12=1+\frac{5}{7}$ [/mm] die erste Stelle nach dem Komma ist also 1 und [mm] $\frac{5}{7}$ [/mm] wird in dem nächsten Schritt [mm] malgenommen.\\
[/mm]
[mm] $\frac{5}{7}*12=8+\frac{4}{7}$ [/mm] die 2. Stelle ist daher die 8, Rest [mm] s.o..\\
[/mm]
[mm] $\frac{4}{7}*12=6+\frac{6}{7}$ [/mm] 3. Stelle ist die [mm] 6.\\
[/mm]
[mm] $\frac{6}{7}*12=10+\frac{2}{7}$ [/mm] Die 4. Stelle ist daher [mm] 10=a.\\
[/mm]
[mm] $\frac{2}{7}*12=3+\frac{3}{7}$ [/mm] Die 5. Stelle is [mm] 3.\\
[/mm]
[mm] $\frac{3}{7}*12=5+\frac{1}{7}$ [/mm] Die 6. und letzte Stelle ist 5, da wir [mm] $\frac{1}{7}$ [/mm] am Anfang [mm] hatten.\\
[/mm]
Die Darstellung von [mm] $\frac{1}{7}_{10}$ [/mm] im 12er Zählsystem ist daher [mm] $0,\overline{186a35}$.\\\\
[/mm]
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> [mm]25.\\[/mm]
> Zu berechnen: die 12-adische Entwicklung von [mm]\frac{1}{5}[/mm][mm] .\\[/mm]
>
> Mein Verfahren beruht auf: [mm]0,abcd..._{12}[/mm] wobei gilt:
> [mm]\frac{1}{5}=\frac{a}{5}+\frac{b}{5^2}+\frac{c}{5^3}+...[/mm][mm] .\\[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du meinst: [mm]\frac{1}{5}=\frac{a}{\red{12}}+\frac{b}{\red{12}^2}+\frac{c}{\red{12}^3}+...[/mm][mm] .\\[/mm]
>
> [mm]\frac{1}{5}*12=2+\frac{2}{5}[/mm] die erste Stelle nach dem
> Komma ist also 2 und [mm]\frac{2}{5}[/mm] wird in dem nächsten
> Schritt [mm]malgenommen.\\[/mm]
> [mm]\frac{2}{5}*12=4+\frac{4}{5}[/mm] die 2. Stelle ist daher die
> 4, Rest [mm]s.o..\\[/mm]
> [mm]\frac{4}{5}*12=9+\frac{3}{5}[/mm] 3. Stelle ist die [mm]9.\\[/mm]
> [mm]\frac{3}{5}*12=7+\frac{1}{5}[/mm] Die 4. und letzte Stelle
> (fuer die periodische Darstellung) ist also die 7, da wir
> [mm]\frac{1}{5}[/mm] am Anfang schon [mm]hatten.\\[/mm]
> Die Darstellung von [mm]\frac{1}{5}_{10}[/mm] im 12er Zählsystem
> ist daher [mm]0,\overline{2497}[/mm][mm] .\\\\[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Es geht einfacher, falls sich die Zahl in eine abbrechende Dezimalzahl verwandeln lässt: Dann musst du nicht mit Brüchen rechnen.
[mm] \bruch{1}{5}=0,2
[/mm]
Jetzt nimmst du forlaufend mit 12 mal, schreibst den ganzzahligen Anteil als nächste 12-adische Kommaposition auf und machst mit dem Nachkommateil weiter:
0,2*12=2,4 2 ist nächste Ziffer, 0,4 wird weiterbehandelt (0,2...)
0,4*12=4,8 4 ist nächste Ziffer, 0,8 wird weiterbehandelt (0,24...)
0,8*12=9,6 9 ist nächste Ziffer, 0,6 wird weiterbehandelt (0,249...)
0,6*12=7,2 7 ist nächste Ziffer, 0,2 wird weiterbehandelt (0,2497...)
Jetzt sind wir aber wieder in genau der selben Position wie zu Anfang und erkennen, dass sich 2497 ab jetzt periodisch wiederholen wird.
> Zu berechnen: die
> 12-adische Entwicklung von [mm]\frac{1}{7}[/mm][mm] .\\[/mm]
>
> [mm]\frac{1}{7}*12=1+\frac{5}{7}[/mm] die erste Stelle nach dem
> Komma ist also 1 und [mm]\frac{5}{7}[/mm] wird in dem nächsten
> Schritt [mm]malgenommen.\\[/mm]
> [mm]\frac{5}{7}*12=8+\frac{4}{7}[/mm] die 2. Stelle ist daher die
> 8, Rest [mm]s.o..\\[/mm]
> [mm]\frac{4}{7}*12=6+\frac{6}{7}[/mm] 3. Stelle ist die [mm]6.\\[/mm]
> [mm]\frac{6}{7}*12=10+\frac{2}{7}[/mm] Die 4. Stelle ist daher
> [mm]10=a.\\[/mm]
> [mm]\frac{2}{7}*12=3+\frac{3}{7}[/mm] Die 5. Stelle is [mm]3.\\[/mm]
> [mm]\frac{3}{7}*12=5+\frac{1}{7}[/mm] Die 6. und letzte Stelle ist
> 5, da wir [mm]\frac{1}{7}[/mm] am Anfang [mm]hatten.\\[/mm]
> Die Darstellung von [mm]\frac{1}{7}_{10}[/mm] im 12er Zählsystem
> ist daher [mm]0,\overline{186a35}[/mm][mm] .\\\\[/mm]
>
Auch das geht etwas schneller, wenn du Brüche vermeiden willst: Du vergisst für einen Moment die 7 und nimmst den Nenner mal 12. Das Ergebnis teilst du nun durch 7. Der ganzzahlige Teil des Ergebnisses ist die nächste Ziffer, der Rest der neue Zähler, mit dem du weiter machst::
1*12:7=12:7=1 Rest 5 1=nächste Ziffer, mit 5 weiter (0,1...)
5*12:7=60:7=8 Rest 4 8=nächste Ziffer, mit 4 weiter (0,18...)
4*12:7=48:7=6 Rest 6 6=nächste Ziffer, mit 6 weiter (0,186...)
6*12:7=72:7=a Rest 2 a=nächste Ziffer, mit 2 weiter (0,186a...)
2*12:7=24:7=3 Rest 3 3=nächste Ziffer, mit 3 weiter (0,186a3...)
3*12:7=36:7=5 Rest 1 5=nächste Ziffer, mit 1 weiter (0,186a35...)
und jetzt sind wir wieder am Anfang, also wird das Ganze wieder periodisch.
Natürlich konntest du die erste Rechnung [mm] (\bruch{1}{5}) [/mm] auch nach diesem Schema durchführen.
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Hey danke sehr,
mir ist schon klar, dass es schneller geht, aber ist fast keine Arbeit das so ausführlich zu schreiben mit copy/paste^^.
Ja, das mit 1/12 dachte ich mir, bin aber wohl auf merkwürdige Quellen gestoßen.
Ich poste gleich mal noch andere Aufgaben, die leider falsch waren (ziemlich grobe schnitzer), deshalb die vielen revisionen.
Wie heißt denn dieses Verfahren wenn man fragen darf?
Ich habe dazu keinen Namen gefunden, es wurde einfach gemacht...
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> Hey danke sehr,
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> mir ist schon klar, dass es schneller geht, aber ist fast
> keine Arbeit das so ausführlich zu schreiben mit
> copy/paste^^.
Es geht nicht um das schnelle Schreiben auf der Tastatur, sondern um das schnelle Ausrechnen und das Vermeiden von zu viel Bruchrechnung.
Wenn du von [mm] \bruch{2}{7} [/mm] erst mal [mm] \bruch{3}{12} [/mm] subtrahierst und dann vom Rest [mm] \bruch{3}{84} [/mm] soundsoviel (ja, wieviel?) 144-stel, wird die Sache leicht unübersichtlich.
Aber 2*12:7=3 Rest 3 und
3*12:7=5 Rest 1 usw. (aha, es waren [mm] \bruch{5}{144})
[/mm]
ist doch simpel. (Also 0,35...(12))
>
> Ja, das mit 1/12 dachte ich mir, bin aber wohl auf
> merkwürdige Quellen gestoßen.
Es spielt keine Rolle, auf welche Quellen du stößt. Du musst ja ein Verständnis entwickeln und merken, dass da was nicht stimmt. Was glaubst du, in wievielen Formelsammlungen ich schon Fehler gefunden habe ?! Teils Schreibfehler, teils auch falsch vom anderen Verfasser abgeschrieben, der auch schon falsch abgeschrieben hat...
>
> Ich poste gleich mal noch andere Aufgaben, die leider
> falsch waren (ziemlich grobe schnitzer), deshalb die vielen
> revisionen.
>
> Wie heißt denn dieses Verfahren wenn man fragen darf?
> Ich habe dazu keinen Namen gefunden, es wurde einfach
> gemacht...
Keine Ahnung, wie das Verfahren heißt, ich habe es in meinem Informatikunterricht immer so den Schülern beigebracht. Die Idee ist folgende:
(Wir nehmen jetzt a<b an)
[mm] \bruch{a}{b}=a:b=0,z_1z_2z_3..._{(12)}=\bruch{z_1}{12}+\bruch{z_2}{12*12}+\bruch{z_3}{12*12*12}+... [/mm] |*12
[mm] 12*a:b=z_1,z_2z_3..._{(12)}=z_1+\bruch{z_2}{12}+\bruch{z_3}{12*12}+... [/mm] ,
Denn die Multiplikation im 12-er-System mit 12 bewirkt nur eine Verschiebung des Kommas. Damit wird nun [mm] z_1 [/mm] der ganzzahlige Anteil von 12a:b, während der Divisionsrest, nennen wir ihn c, noch durch b geteilt werden müsste. Die linke Seite ist somit eigentlich
[mm] z_1+\bruch{c}{b}=z_1,z_2z_3..._{(12)}=z_1+\bruch{z_2}{12}+\bruch{z_3}{12*12}+...
[/mm]
Werfen wir nun links und rechts [mm] z_1 [/mm] heraus, bleibt im nächsten Schritt:
[mm] \bruch{c}{b}=0,z_2z_3..._{(12)}=z_1+\bruch{z_2}{12}+\bruch{z_3}{12*12}+...
[/mm]
und wir können das Verfahren mit der nächsten Ziffer fortsetzen.
Auf diese Weise hat man übrigens früher auch den 10-er Logarithmus von Zahlen bestimmt, als es noch keine Taschenrechner gab. Mit unendlichen Reihen konnte man nicht rechnen, dafür musste man eine Menge Multiplikationen durchführen.
Beispiel: 10-er Logarithmus von 2 (Taschenrechner:LOG 2 = 0,301029995)
Das machte man so:
gesucht: x mit [mm] 10^x=2
[/mm]
Setze x=a,bcdef, wobei die Buchstaben die Ziffern sein sollen.
[mm] 10^{a,bcdef}=2
[/mm]
Da [mm] 2<10=10^1 [/mm] ist ist a<1 und somit 0. (0,....)
Nun nimmt man beide seiten hoch 10:
[mm] (10^{0,bcdef})^{10}=2^{10}=1024 [/mm] oder
[mm] 10^{0,bcdef*10}=10^{b,cdef}=1024=10^3*1,024
[/mm]
[mm] 10^{b,cdef}=10^3*1,024
[/mm]
Also ist nun b=3. (0,3....)
Nun dividiert man beide Seiten durch [mm] 10^3:
[/mm]
[mm] 10^{3,cdef}:10^3=1,024
[/mm]
[mm] 10^{0,cdef}=1,024
[/mm]
Jetzt wieder beide Seiten hoch 10:
[mm] (10^{0,cdef})^{10}=1,024^{10}
[/mm]
[mm] 10^{0,cdef*10}=1,2676506 [/mm] mit dem TR, damals zu Fuß!!!
[mm] 10^{c,def}=1,2676506<10=10^1, [/mm] also c=0 (0,30....)
[mm] 10^{0,def}=1,2676506 [/mm] nochmals beide Seiten hoch 10:
[mm] 10^{d,ef}=1,2676506^{10}=10,71508607=10^1*1,071508607, [/mm] also d=1 (0,301....)
[mm] 10^{1,ef}=10^1*1,071508607 [/mm] beide Seiten durch [mm] 10^1
[/mm]
[mm] 10^{0,ef}=1,071508607 [/mm] wieder hoch 10
[mm] 10^{e,f}=1,071508607^{10}=1,995063117<10^1, [/mm] also e=0 (0,3010....)
[mm] 10^{0,f}=1,995063117 [/mm] wieder hoch 10
[mm] 10^f=999,0020928 \approx 1000=10^3 [/mm] , also f [mm] \approx [/mm] 3 (0,30103)
Ganz schön aufwändig und fehleranfällig...
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