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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:17 Sa 07.02.2009 | | Autor: | Haggie |
| Aufgabe | 1.2 Für jedes t element IR unten ein plus ist eine Funktion [mm] f_t [/mm] gegeben durch [mm] f_t(x)=2+t*cos(x) [/mm] mit x element [-4,5;4,5].
Das Schaubild von [mm] f_t [/mm] heit [mm] K_t.
[/mm]
1.2.1 Untersuchen Sie [mm] K_t [/mm] auf Symmetrie und bestimmen Sie die Hoch und Tiefpunkte. Untersuchen Sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte von [mm] K_t [/mm] mit der x-Achse in Abhängigkeit von t.
1.2.2 Die tangente an [mm] K_t [/mm] im Wendepunkt von [mm] K_t [/mm] im ersten Quadranten bildet mit den Koordinatenachsen ein Dreieck.
Für welches t wird der Flächeninhalt dieses Dreiecks minimal?
Geben Sie diesen Flächeninhalt an.
1.2.3 Im ersten Quadranten schließt K_4mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein.
Bestimmen Sie t so, dass [mm] K_t [/mm] diese Fläche halbiert.
1.2.4 Deuten Sie folgende Aussage geometrisch:
Für alle t element IR_+ gilt: [mm] \int_{0}^{PI} (f_4(x)-f_t(x))\, [/mm] dx =0.
1.2.5 Das Schaubild [mm] K_4 [/mm] wird für o<_x<_4,5 durch das Schaubild von
[mm] p(x)=(16x^3/PI^3)-(24x^2/PI^2)+6 [/mm] angenähert. Ein mögliches Kriterium für die Güte einer Annäherung ist die maximale Ordinatendifferenz der beiden Funktionen. Je kleiner diese maximale Ordinatendifferenz ist, desto besser ist die Annäherung. Bestimmen sie für p und [mm] f_4 [/mm] die maximale Ordinatendifferenz.
Beurteilen Sie anhand der Funktion g mit
[mm] g(x)=0,26x^3-1,06x^2-1,84x+6,37 [/mm] ,
ob das oben angegeben Kriterium für die Güte der Annäherung geeignet ist. |
Hallo an alle Mathe Leute,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hab da ein "paar Probleme" wäre nett wenn ihr das mal anschauen könnt was ich da zusammen gerechnet habe und wenn ihr mir vielleicht dann ein paar tipps geben könntet.
Symmetrie kontrolle für t=1,
[mm] K_t(x)=K_t(-x) [/mm] true
[mm] -K_t(x)=K_t(-x) [/mm] false somit herrscht achsen Symmetrie
Hoch und Tiefpunkte
Bedingung: [mm] K_t´(x)=0 [/mm]
TP1 (-PI/2-t)
HP (0/t+2)
TP2 (PI/2-t)
Stimmen die TP´s und HP so??
gemeinsame Punkte mit der x-achse:
[mm] K_t(x) [/mm] =0
[mm] x_1=((4k-1)*PI)/2)-arcsin(2/t)
[/mm]
[mm] x_2=((4k-1)*PI)/2)+arcsin(2/t)
[/mm]
1.2.2
Die steigung der tangente ist die erste ableitung also ist die steigung
m=-sin(x)*t
dann berechne ich den Wendepunkt
[mm] K_t"(x)=0
[/mm]
dann krieg ich zwei Wendepunkt raus:
Punkt1 ((-PI/2) / -t) da t nur positiv sein darf fällt dieser WP weg!
Punkt2 ((PI/2) / t)
Dann setze ich in die Punkt- Steigungs Form ein
dann kommt raus:
[mm] y=m(x-x_1)+y_1
[/mm]
y=-sin(x)*t+(x-(PI/2))+t
weil die tangente die x-achse schneidet habe ich die tangente=0 gesetzt:
[mm] x_1=6,488
[/mm]
[mm] x_2=9,295 [/mm] da ich den kleinsten inhalt suche nehme ich [mm] x_1
[/mm]
nun stell ich eine Zielfunktion auf:
A=a*b/2
A=(Tangente *6,488)/2
A´= 0; t=0
A"(0) kommen verschiedene X-werte herraus
ist die fläche am kleinsten wenn t gleich null ist???
1.2.3
zuerst hab ich mal die gesamte fläche berechnet von [mm] K_4 [/mm] = 7,613
diese geteilt ergibt 3,80658
dann hab ich [mm] \int_{0}^{2,12} K_t\, [/mm] dx=3,80658 dies hab ich dann nach t aufgelöst
und kam raus t=-0,5
stimmt das so???
1.2.5
Da hab ich keine ahnung wie ich da am besten vorgehen soll???
Kann mir da jemand helfen
und natürlich zu allen anderen aufgaben auch bitte.
vielen dank im vorraus
Hochachtungsvoll
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:24 Sa 07.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
HP und TP sind richtig
Schnittstellen mit der x-Achse nicht.
Ausserdem solltest di da ne Bedingung fuer t haben, damit es ueberhaupt Schnittpkt gibt
(Du solltest das vielleicht fuer t=1 skiziieren, einfach cosx um 2 nach oben geschoben, t ist dazu die "Amlitude")
Wendepkt bei [mm] (\pi/2,2 [/mm] ) wie kommst du auf t, bzw -t?
der cosx ist 0 im wdpkt!
Dann Wendetangente:
dann kommt raus:
$ [mm] y=m(x-x_1)+y_1 [/mm] $
das ist richtig, da muss die Steigung im Wendepkt rein also [mm] f'(\pi/2)=m, x1=\pi/2, [/mm] y1=2
y=-sin(x)*t+(x-(PI/2))+t
ist keine Tangente
Du solltest im Folgenden wissen, dass keine Gerade die x Achse 2 mal schneiden kann!
Also Rest falsch.
123:zur Flaeche skizzier das mal! du brauchst doch noch den Schnittpkt von [mm] K_4 [/mm] und [mm] K_t
[/mm]
und t>0 war vorrausgesetzt.
124 erstmal [mm] f_4-f_t [/mm] hinschreiben, dann sieht man's
125
wo ist |p(x)-f(x)| , das ist die Ordinatendifferenz maximal?
maxima ausrechnen kannst du sicher , dann da den Wert der Differenz.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Sa 07.02.2009 | | Autor: | Haggie |
Hallo und danke für deine antwort Leduart,
ich hab mir jetzt mal für t=1 das gezeichnet und zwei nach oben verschoben.
jedoch weiß ich nicht so recht wie ich so ne bedingung aufstelle??????
kannste mir da vielleicht helfen.
und noch bei der 123: kann ich da für [mm] K_t [/mm] irgendeine positive zahl für t einsetzen???!!!
VIelen dank im vorraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:37 So 08.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu 122
Wenn du die Kurve siehst, kann man direkt ablesen, dass der cos x um [mm] \pm1 [/mm] um die 2 rumwackelt. er muss also mindestens doppelt so hoch werden, damit er bis zur x-achse reicht. bei t=2 hat er dann im Min eine Nst=Beruehrpkt. bei t>2 2 Nst.
Oder du sagst arccos(y) existiert nur fuer [mm] -1\ley\le1
[/mm]
d.h.-2/t muss in dem Bereich liegen, also [mm] t\ge2
[/mm]
Nein die positive Zahl musst du ja erst rauskriegen.
t muss kleiner als 4 sein. Die Kurven schneiden sich nur auf der Geraden y=2
Ich hab mal schwarz [mm] K_4 [/mm] gemalt rot t=1.5
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Flaeche halbieren, heisst zwischen rot und Schwarz also [mm] K_4-K_t [/mm] bis [mm] \pi/2 [/mm] integriert muss die Haelfte sein.
kann sein, dass das nur mit neg t geht, dann musst du dazuschreiben: geht nur mit t ausserhal des Def. Bereichs von [mm] t\in \IR^+
[/mm]
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 So 08.02.2009 | | Autor: | Haggie |
Hey und danke Leduart,
ich versteh das net ganz Leduart was du zu 122 geschrieben hast.
könntest mir das vielleicht nochmals anders vielleicht erklären.
und zur 123 da mach ich das [mm] K_4 -K_t [/mm] =0 und habs nach t aufgelöst kommt zwar etwas raus (-(PI-6)) wenn ich das aber zeichne sieht es nicht so aus als würde es die fläche halbieren???
Und noch ne frage:
wie untersucht man die anzahl der gemeinsamen punkte von [mm] K_t [/mm] mit der x-achse in abhängigkeit von t?????
Viele liebe grüße und vielen dank im vorraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 So 08.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du solltest deine Rechenwege aufschreiben. [mm] K_t [/mm] und [mm] K_4 [/mm] haben nicht den angegebenen Schnittpkt. sie schneiden sich da, wo cosx=0.
2. schreib auf, wie du die Schnittstelle von x- Achse und [mm] K_t [/mm] ausrechnest. da sollte ein arccos vorkommen. da aber cos nur zwischen -1 und +1 schwankt, gibt es den arccosx nur fuer x Werte zwischen -1 und +1. dabei ist arccos von -1 und +1 ein Wert, die anderen 2.
zeichne den arccos doch einfach auf!
[mm] K_t=K_4 [/mm] gibt dir nur den Schnittpunkt der 2. wenn du die flaeche dazwischen ausrechnen willst musst du [mm] K_4-K_t [/mm] integrieren von 0 bis zum Schnittpunkt. sieh dir das doch an der Zeichng an. (da ist halbierung noch nicht erreicht!)
Gruss leduart
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