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| Aufgabe | Berechnen Sie das Integral
[mm] \var{u}(t) [/mm] := [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\cos{(xt)}e^{-x^2}dx} [/mm]
indem Sie eine Differentialgleichung erster Ordnung für [mm] \var{u}=u(t) [/mm] herleiten (ist u wirklich differenzierbar?) und das zugehörige Anfangswertproblem mit
[mm] \var{u}(0)= \integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^2}dx}=\wurzel{\pi} [/mm]
lösen. |
Tach Leute,
also bei dieser Aufgabe hab ich leider nichteinmal nen Ansatz, wie ich an die DGL kommen soll. Für ein paar Tipps zur Vorgensweise wäre ich deswegen sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:17 Fr 04.01.2008 | | Autor: | moudi |
Hallo Mr.Teutone
Ja u(t) ist differenzierbar, weil [mm] $e^{-x^2}$ [/mm] "sehr schnell" nach 0 konvergiert für [mm] $|x|\to\infty$.
[/mm]
$u'(t)$ kann man einfach berechnen, indem man unter dem Integral differenziert. Anschliessend muss man partiell integrieren, und man bekommt im wesentlichen wieder u(t).
mfG Moudi
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Danke erstmal.
Ich kann also unter dem Integral differenzieren:
[mm] \var{u}'(t)= [/mm] -2 [mm] \integral_{0}^{\infty}{\sin{(xt)}\cdot x \cdot e^{-x^2}dx} [/mm]
Nur dann hab ich leider immernoch keine Ahnung, was mir das bringt. Über weitere Hilfe würde ich mich deshalb freuen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:36 Sa 05.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich kann also unter dem Integral differenzieren:
>
> [mm]\var{u}'(t)=[/mm] -2 [mm]\integral_{0}^{\infty}{\sin{(xt)}\cdot x \cdot e^{-x^2}dx}[/mm]
Tipp: lass das Integral zwischen den ursprünglichen Grenzen [mm]-\infty[/mm] und [mm]+\infty[/mm] stehen.
> Nur dann hab ich leider immernoch keine Ahnung, was mir das
> bringt. Über weitere Hilfe würde ich mich deshalb freuen.
Wie Moudi schon schrieb, formst du dieses Integral durch partielle Integration in das ursprüngliche um.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo,
also dass ich damit nicht zurechtkomme, liegt an meinen mangelnden Grundkenntnissen über Integrale. Trotzdem, meint ihr das Ganze vielleicht so:
[mm] f\cdot\var{g} =\integral{f'\cdot g}+\integral{f\cdot g'} [/mm] mit [mm] f(x)=\sin{(xt)} [/mm] , [mm] f'(x)=t\cos{(xt)} [/mm] , [mm] g(x)=\bruch{1}{2}e^{-x^2} [/mm] , [mm] g'(x)=-xe^{-x^2} [/mm]
[mm] \Rightarrow \integral{-\sin{(xt)} x e^{-x^2}dx}=\bruch{1}{2}\sin{(xt)}e^{-x^2}-\integral{\bruch{1}{2}t \cos{(xt)}e^{-x^2}dx} [/mm]
Und damit gilt evtl.:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{-\sin{(xt)} x e^{-x^2}dx}= \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1}{2}\sin{(xt)}e^{-x^2} -\limes_{x\to -\infty}\bruch{1}{2}\sin{(xt)}e^{-x^2} -\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{2}t \cos{(xt)}e^{-x^2}dx} [/mm]
[mm] \Rightarrow \integral_{-\infty}^{\infty}{-\sin{(xt)} x e^{-x^2}dx}= -\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{2}t \cos{(xt)}e^{-x^2}dx} [/mm]
[mm] \Rightarrow u'(t)=-\bruch{1}{2}t\cdot \var{u}(t) [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Mo 07.01.2008 | | Autor: | moudi |
Ja, so scheint es richtig, aber ich habe nicht alles bis ins Detail geprüft (Vorzeichen).
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:54 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Mr.Teutone |
Jepp, es ist so richtig. Ich kann bloß nochmal sagen, die Aufgabe hat mir irgendwie gefallen. Diese Verbindung von uneigentlichen Integralen und Differentialgleichungen ist erstaunlich. Ok, wie auch immer. Danke nochmal für eure Hilfe.
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