Kostenfunktion (pfui) < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:54 Do 31.08.2006 | | Autor: | willinio |
| Aufgabe | Ein Betrieb hat die Kostenfunktion K mit K [mm] (x)=x^3+8x, [/mm] wobei x die Anzahl der hergestellten Mengeneinheiten bezeichnet. Der Verkaufspreis betrage pro Mengeneinheit p=200. Nimm an, dass sich zu diesem Stückpreis stets alle produzierten Mengeneinheiten verkaufen lassen.
Für welche Produktionsmenge wird der Gewinn maximal? |
Hallo,
Bin zufällig auf dieses Forum gestoßen!
Ich hab diese Aufgabe als Hausaufgabe auf, weiß aber absolut nicht, wie ich bei so einer Aufgabe anfangen muss.
Ich weiß wohl irgendwas von Zielfunktion oder so, aber da komm ich im Moment nicht drauf!
Es wäre schön, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte, wie man
a) allgemein an solche Aufgaben herangeht
b) speziell in dieser Aufgabe startet.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen dank schon mal im voraus...
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Hallo,
also, allgemein zu sagen gibt es zum Thema Kostenfunktionen:
1. Es gibt eine Kostenfunktion, zumeist K(x) genannt, die die Kosten für eine Menge x des angegebenen Produktionsartikels darstellt, eine Umsatzfunktion (meist U(x), die sich zusammensetzt aus dem reinen Preis und der jeweiligen Menge (sprich: U(x)=[preis]*[menge]), die Menge ist hier logischerweise variabel, also beispielsweise U(x)=30*x (Preis pro Artikel 30 ; hier wäre der Umsatz für einen Artikel 30 , also für 3 Artikel 90 ).
2. Aus der Kostenfunktion und der Umsatzfunktion ergibt sich die Gewinnfunktion G(x)=U(x)-K(x), wobei hier schlicht und einfach die Kosten vom Umsatz abgezogen werden (Termsubtraktion).
3. Wie man an solch eine Aufgabe drangeht. Prinziell zu merken sind sich mehrere wichtige Sachen: a) Wann, d.h. bei welcher Menge von Produktionsartikeln, ist der Gewinn maximal? b) Bei welcher Menge mache ich weder Gewinn noch Verlust? c) Wie muss der Preis sein, um zumindest bei einer bestimmten Menge Artikel wenigstens verlustfrei produzieren zu können
4. Untersuch mal Aussage a) ;) für deine Aufgabenstellung. Bestimme die Gewinnfunktion und untersuche sie auf Extrema (nicht die hinreichende Bedingung vergessen!). Die Stellen, an denen die Gewinnfunktion maximal ist, ... den Satz solltest du jetzt vervollständigen können. :)
Grüße vom Niederrhein,
Stefan.
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Hallo willinio!
->a) allgemein an solche Aufgaben herangeht
Allgemein ist eine solche Rechnung schwer zu beschreiben. Hier gilt, wie auch im richtigen Leben: Nie das Ziel aus den Augen verlieren! - soll heißen:auf die Fragestellung achten!
Ich will mal versuchen hier eine Art 'Gebrauchsanweisung' zu erstellen:
Ist die Frage nach der gewinnmaximalen Menge, dann ist folgendes zu tun:
- bilde die jeweils erste Ableitung der Kostenfunktion und der Erlösfunktion (sprich: ermittle die Funktionen für die Grenzkosten und den Grenzerlös)
- setze beide Ableitungen gleich (Sprich: bestimme den mathematischen Punkt, an dem die Tangenten an die Kostenfunktion und die Erlösfunktion den gleichen Anstieg haben)
- stelle nach der Produktionsmenge x um und du erhälst die Gewinnmaximale Menge
(diese Art der Ermittlung ist die 'logische' Herangehensweise, da das Maximum genau dort liegt wo sich die Grenzkosten und die Grenzerlöse entsprechen; sprich: dort wo die Kosten für die zuletzt hergestellte Einheit x gleich den Erlösen für diese Einheit x sind; jede weitere produzierte Einheit x würde mehr Kosten verursachen als sie Erlöse ins Unternehmen bringt)
ODER:
- bestimme die Gewinnfunktion G(x)=E(x)-K(x) , wobei E(x) für die Erlösfunktion (auch Umsatzfunktion genannt) und K(x) für die Kostenfunktion steht
- bilde die ersten beiden Ableitungen der Gewinnfunktion
- setze die erste Ableitung G'(x)=0 und löse nach x auf
- setze das mit der ersten Ableitung ermittelte x in die zweite Ableitung ein um das Maximum nachzuweisen
(diese Art der Berechnung solltest du aus der Extremwertermittlung bei der Kurvendiskussion kennen)
b) speziell in dieser Aufgabe startet.
Ich beschriebe mal die erste, von mir beschriebene Vorgehensweise:
- bilde E(x)=px=200x
- ermittle [mm] K(x)=x^{3}+8x [/mm] (war in Aufgabenstellung gegeben)
- bestimme E'(x)=200
- bestimme [mm] K'(x)=3x^{2}+8
[/mm]
- setze E'(x)=K'(x) [mm] \Rightarrow 200=3x^{2}+8
[/mm]
- stelle nach x um: [mm] x=\wurzel{\bruch{192}{3}}=\wurzel{64}
[/mm]
- bestimme x: [mm] x_{1}=+8 [/mm] ; [mm] x_{2}=-8 [/mm] (fällt als Lösung weg, da keine -8 Stück von x produzierbar)
Gruß,
Tommy
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