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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:19 Sa 30.04.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ich habe mühe mit der Def. der Kovarianz. Den Korrelationskoeff. bzw. die Regressionsanalyse wo man ein [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] sucht, sodass eine Menge von Punkten möglichst gut durch eine Gerade approximiert wird, ist mir gut bekannt (aber aus einer anderen Herleitung/Sichtweise).
cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]
...unter anderem gibt es auch noch folgende Beziehungen:
Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2*cov(X,Y)
p(X,Y) = [mm] \bruch{cov(X,Y)}{\wurzel{var(X)var(Y)}} [/mm] (=Korrelationskoeff.)
...nun steht noch: "...hat man zwei Zufallsvariablen X,Y und will X möglichst gut durch Z' mit Z' = [mm] \alpha*Y [/mm] + [mm] \beta [/mm] annähern, so betrachtet man als Fehler die grösse [mm] E[(X-Z')^{2}]
[/mm]
Die beste (lineare) Prognose von X durch Y ist dann die Zufallsvariable
Z = [mm] \bruch{cov(X,Y)}{var(Y)}*(Y [/mm] - E(Y)) + E(X)"
Ich verstehe Gründsätzlich nicht: Mit X,Y und Z bezeichnet man ja Verteilungsfunktionen, d.h. zu einem Wert wird eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet. Werden da nun die Wahrscheinlichkeiten oder die Werte der Wahrscheinlichkeiten betrachtet? Ich meine cov(X,Y), was soll das heissen? Heisst eine grosse Kovarianz, dass wenn [mm] x_{1}(Ein [/mm] Wert) die Wahrscheinlichkeit p hat, dass dann die Wahrscheinlichkeit an der Stelle [mm] y_{1} [/mm] auch nahe bei p ist? Das würde aber heissen, dass X und Y im besten fall einfach gleich verteilt sind?
Ausserdem ist doch Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) falls(!) X und Y (linear) unabhängig sind. Nun was heisst das eigentlich? Ich meine wenn die Verteilungsfunktion von X ein Polynom in Form von [mm] x^{2} [/mm] ist und die von Y auch, ist dann cov(X,Y) ganz Null? Oder einfach nur kleiner?
Kann jemand das bitte ein bisschen erklären?
Gruss...qsxqsx
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:31 Sa 07.05.2011 | | Autor: | mathfunnel |
Hallo qsxqsx,
kann es sein, dass Du die Begriffe Verteilungsfunktion und Zufallsvariable durcheinander bringst?
$X,Y,Z$ sind Zufallsvariablen und keine Verteilungsfunktionen.
LG mathfunnel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:22 Sa 07.05.2011 | | Autor: | vivo |
Hallo,
> Ich verstehe Gründsätzlich nicht: Mit X,Y und Z
> bezeichnet man ja Verteilungsfunktionen, d.h. zu einem Wert
> wird eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet. Werden da nun die
> Wahrscheinlichkeiten oder die Werte der
> Wahrscheinlichkeiten betrachtet?
Mit X,Y und Z sind Zufallsvariablen gemeint, eine ZV ist aber natürlich durch ihre Verteilungsfunktion eindutig bestimmt.
>Ich meine cov(X,Y), was
> soll das heissen? Heisst eine grosse Kovarianz, dass wenn
> [mm]x_{1}(Ein[/mm] Wert) die Wahrscheinlichkeit p hat, dass dann die
> Wahrscheinlichkeit an der Stelle [mm]y_{1}[/mm] auch nahe bei p ist?
> Das würde aber heissen, dass X und Y im besten fall
> einfach gleich verteilt sind?
Eine großer postitver Wert der Kovarianz bedeutet, dass wenn X "hohe" Werte (dies im Sinne von größer als der Erwartungswert, Achtung dieser kann auch negativ sein) hat, auch Y "hohe" (dies im Sinne von größer als der Erwartungswert, Achtung dieser kann auch negativ sein) Werte hat und wenn X "niedrige" Werte (dies im Sinne von kleiner als der Erwartungswert, Achtung dieser kann auch negativ sein) hat, auch Y "niedrige" (dies im Sinne von kleiner als der Erwartungswert, Achtung dieser kann auch negativ sein) Werte hat.
Ist die Kovarianz negativ so ist der Sachverhalt eben entgegengestzt!!!!
>
> Ausserdem ist doch Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) falls(!) X
> und Y (linear) unabhängig sind. Nun was heisst das
> eigentlich? Ich meine wenn die Verteilungsfunktion von X
> ein Polynom in Form von [mm]x^{2}[/mm] ist und die von Y auch, ist
> dann cov(X,Y) ganz Null? Oder einfach nur kleiner?
Sind die ZV's unabhängig (allgemein nicht nur linear), so ist die Kovarianz 0 ! Aber aus Kovarianz 0 folgt nicht allgemein unabhängigkeit! Aber eben kein linearer Zusammenhang.
>
> Kann jemand das bitte ein bisschen erklären?
>
hoffe dass hilt ein wenig
grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Sa 07.05.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Herzlichen dank...
Ich hab da aber den Überblick immer noch nicht.
Vielleicht mal eine simple Frage:
Wenn ich einen Würfel A mit 6 Zahlen (1,2,3,4,5,6) habe und die Wahrscheinlichkeit p jeder Zahl ist 1/6. So ist die Verteilungsfunktion in Form von 6 peaks auf der x-Achse zu zeichnen.
Habe ich einen zweiten Würfel B auch mit 6 Zahlen und ebenfalls p = 1/6 sieht das ganze genau gleich aus.
Jetzt korrelieren A und B ja genau perfekt miteinander. Demzufolge ist die Kovarianz auch nicht 0...aber dann müssten ja A und B von einaner abhängig sein? Aber das sagt ja niemand?
Grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:57 So 08.05.2011 | | Autor: | vivo |
Hallo,
[mm]Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)[/mm]
man kann zeigen, dass bei Unabhängigkeit gilt:
[mm]E(XY)=E(X)E(Y)[/mm]
und somit wird die Cov dann null!
Wie gesagt, die Umkehrung gilt nicht !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Wenn Du zwei Würfel hast (oder zwei mal nacheinander den selben Würfel wirfst) würde ich schon sagen, dass die jeweils geworfene augenzahl unabhängig voneinander ist. Das Auftreten einer bestimmten Augenzahl im ersten Wurf, verändert doch die W'keit für das auftreten einer bestimmten Augenzahl im zweiten Wurf nicht !!!!!!!!! Also Unabhängigikeit!
Ich glaube dein Fehler liegt daran, dass du nicht beachtest, dass du zur bestimmung der Kovarianz die gemeinsame Dichte (bzw. Verteilung) von X und Y brauchst und nicht nur die beiden Randverteilungen!
Beste Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:27 So 08.05.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Danke, du hast mir viel weitergeholfen!
Ich werd mal ein paar Beispiele durchrechnen müssen...ansonsten frag ich nochmals.
Grüsse
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