Kovarianz Bronwsche Bewegung < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Tag
Wenn [mm] $W=(W_t)$ [/mm] eine Brownsche Bewegung ist und ich nun den Prozess [mm] $U_t:=W_{t+s}-W_s$ [/mm] betrachte, möchte ich gerne zeigen, dass $U$ auch eine Brownsche Bewegung ist. Dafür muss ich nun nur noch die Kovarianz ausrechnen. Es sollte gelten: [mm] $Cov(U_t,U_r)=r\wedge [/mm] t$. Irgendwie verrechne ich mich immer wieder. Vielleicht sieht ja jemand meinen Fehler und kann mir helfen.
[mm] $$Cov(U_t,U_r)=Cov(W_{t+s}-W_s,W_{r+s}-W_s) =Cov(W_{t+s},W_{r+s})+Var(W_s)-Cov(W_{r+s},W_s)-Cov(W_{t+s},W_s)$$
[/mm]
Wenn ich jetzt verwende, dass für eine Brownsche Bewegung gilt: [mm] $Cov(W_t,W_s)=s\wedge [/mm] t$, erhalte ich
[mm] $$Cov(U_t,U_r)=(t+s)\wedge [/mm] (r+s) + s - [mm] ((r+s)\wedge [/mm] s) [mm] -((t+s)\wedge [/mm] s)$$
Das soll nun gleich [mm] $r\wedge [/mm] t$ sein? Wieso gilt dies?
Danke für die Hilfe
Liebe Grüsse
Marianne88
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Hiho,
> [mm]Cov(U_t,U_r)=Cov(W_{t+s}-W_s,W_{r+s}-W_s) =Cov(W_{t+s},W_{r+s})+Var(W_s)-Cov(W_{r+s},W_s)-Cov(W_{t+s},W_s)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wenn ich jetzt verwende, dass für eine Brownsche Bewegung
> gilt: [mm]Cov(W_t,W_s)=s\wedge t[/mm], erhalte ich
>
> [mm]Cov(U_t,U_r)=(t+s)\wedge (r+s) + s - ((r+s)\wedge s) -((t+s)\wedge s)[/mm]
Erstmal weiter vereinfachen!
Denk mal scharf nach, was [mm] $(r+s)\wedge [/mm] s$ und was [mm] $(t+s)\wedge [/mm] s$ ist.
Was gilt denn für r und t?
MFG,
Gono.
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> Erstmal weiter vereinfachen!
> Denk mal scharf nach, was [mm](r+s)\wedge s[/mm] und was [mm](t+s)\wedge s[/mm]
> ist.
> Was gilt denn für r und t?
>
> MFG,
> Gono.
Ah...Es gilt [mm] $(r+s)\wedge [/mm] s = s$, d.h. [mm] $(r+s)\wedge [/mm] (t+s) -s [mm] =r\wedge [/mm] t$ was ich will. Stimmt's?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 Mi 18.07.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
ja, das ist der Lösungsweg.
Viele Grüße,
Infinit
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