Kovarianz, EX < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:55 Do 27.01.2011 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | [Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] (X_n)_n [/mm] Folge von i.i.d. Zufallsgrößen mit Werten in [-1,1] und [mm] E(X_1)=0 [/mm] und [mm] Y_n=\produkt_{i=1}^{n}X_i
[/mm]
a) Zu zeigen: [mm] Var(Y_n) [/mm] existiert
b) Zu zeigen: [mm] Y_n [/mm] paarweise unkorreliert |
Hallo zusammen,
zu a)
Stimmt folgende Argumentation?
[mm] X_1,...X_n [/mm] beschränkt => [mm] Y_n [/mm] beschränkt => [mm] Y^{2}_n [/mm] beschränkt=> [mm] E(Y^2) [/mm] existiert => Varianz existiert.
zu b) O.B.d.A sei n<m. Stimmt das dann so?
[mm]Cov(Y_n,Y_m)=E(\produkt_{i=1}^{n} X_i\produkt_{i=1}^{m}X_i)=E(\produkt_{i=1}^{n} X^{2}_i\produkt_{i=n+1}^{m}X_i)=
\produkt_{i=1}^{n}E X^{2}_i\produkt_{i=n+1}^{m}EX_i=0[/mm]
Falls ja, wie kann man formal sauber den vorletzten Schritt begründen?
Also ich hab so angefangen:
[mm] $X_1,...,X_n$ [/mm] st.u => [mm] $X^{2}_1,...,X^{2}_n$ [/mm] st.u.
Nun ist zu zeigen, dass [mm] $\produkt_{i=1}^{n} X^{2}_i [/mm] und [mm] \produkt_{i=n+1}^{m}X_i$) [/mm] st.u. sind.
Dazu: [mm] X^{2}_i [/mm] ist unabhängig von [mm] X_j [/mm] für alle [mm] $i\not=j$
[/mm]
Daraus folgt die Behauptung,
denn sei 1 die konstante Zufallsvariable mit Wert 1.
Dann sind (X²_1,...,X²_n,1,...,1) und [mm] (X_{n+1},...,X_m) [/mm] st.u.
(Die Anzahl der Einsen ist = m-n)
Jetzt wende ich auf beide Vektoren die (stetige) Funktion
[mm] f(x_1,...,x_m)=x_1*x_2*...*x_m [/mm] an. Dabei bleibt die Unabhängigkeit erhalten.
Würde mich freuen, wenn ihr mir da helfen könntet!
Liebe Grüße
Fry
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:51 Do 27.01.2011 | | Autor: | dormant |
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> [mm](X_n)_n[/mm] Folge von i.i.d. Zufallsgrößen mit Werten in
> [-1,1] und [mm]E(X_1)=0[/mm] und [mm]Y_n=\produkt_{i=1}^{n}X_i[/mm]
> a) Zu zeigen: [mm]Var(Y_n)[/mm] existiert
> b) Zu zeigen: [mm]Y_n[/mm] paarweise unkorreliert
>
>
>
>
> Hallo zusammen,
>
> zu a)
> Stimmt folgende Argumentation?
> [mm]X_1,...X_n[/mm] beschränkt => [mm]Y_n[/mm] beschränkt => [mm]Y^{2}_n[/mm]
> beschränkt=> [mm]E(Y^2)[/mm] existiert => Varianz existiert.
Ja. Integrierbare Majorante, z.B. M:=2 const für [mm] X_1, [/mm] also ist [mm] \mathbb{V}[X_1]<\infty [/mm] und somit auch [mm] Y_n. [/mm] Hier musst du auch noch den Erwartungswert von [mm] Y_n [/mm] ausrechnen, da du ihn für b) brauchst.
> zu b) O.B.d.A sei n<m. Stimmt das dann so?
> [mm]Cov(Y_n,Y_m)=E(\produkt_{i=1}^{n} X_i\produkt_{i=1}^{m}X_i)=E(\produkt_{i=1}^{n} X^{2}_i\produkt_{i=n+1}^{m}X_i)=
\produkt_{i=1}^{n}E X^{2}_i\produkt_{i=n+1}^{m}EX_i=0[/mm]
>
> Falls ja, wie kann man formal sauber den vorletzten Schritt
> begründen?
Mit der Unabhängigkeit. Wenn X, Y unabhängig, g messbare Funktion, so sind auch g(X), Y unabhängig. Im Vorletzten Schritt sollst du besser schreiben
... = [mm] \mathbb{V}[Y_n]\mathbb{E}[X_1]^{m-n} [/mm] = [mm] \mathbb{V}[Y_n]*0=0,
[/mm]
wegen iid und aus [mm] \mathbb{V}[Y_n]<\infty. [/mm] Man sieht klar wie a) eine Vorbereitung für b) ist.
> Also ich hab so angefangen:
> [mm]X_1,...,X_n[/mm] st.u => [mm]X^{2}_1,...,X^{2}_n[/mm] st.u.
> Nun ist zu zeigen, dass [mm]\produkt_{i=1}^{n} X^{2}_i und \produkt_{i=n+1}^{m}X_i[/mm])
> st.u. sind.
> Dazu: [mm]X^{2}_i[/mm] ist unabhängig von [mm]X_j[/mm] für alle [mm]i\not=j[/mm]
> Daraus folgt die Behauptung,
> denn sei 1 die konstante Zufallsvariable mit Wert 1.
> Dann sind (X²_1,...,X²_n,1,...,1) und [mm](X_{n+1},...,X_m)[/mm]
> st.u.
> (Die Anzahl der Einsen ist = m-n)
> Jetzt wende ich auf beide Vektoren die (stetige) Funktion
> [mm]f(x_1,...,x_m)=x_1*x_2*...*x_m[/mm] an. Dabei bleibt die
> Unabhängigkeit erhalten.
Überflüssig.
> Würde mich freuen, wenn ihr mir da helfen könntet!
>
> Liebe Grüße
> Fry
>
dormant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:46 Do 27.01.2011 | | Autor: | Fry |
Hey dormant,
vielen Dank für deine Antwort.
Könntest du den zweiten Teil genauer an dem Beispiel ausführen.
Ich sehe nicht, dass das sofort klar ist. Diesen Satz hab ich ja auch übrigens selbst verwendet.
Danke nochmal!
LG
Fry
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:04 Do 03.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
