Kovarianz Münzexp. < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Sa 21.09.2013 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | Sie werfen n-mal eine faire Münze ([mm]n\in\mathbb N_{\ge 2})[/mm], die Kopf oder Zahl zeigen kann. Die Zufallsvariable [mm]Y[/mm] gebe an, wie häufig bei zwei aufeinanderfolgenden Würfen Kopf erscheint, [mm]X[/mm] die Anzahl der Würfe bei denen Kopf erscheint.
Berechnen Sie [mm]Cov(X,Y)[/mm].
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Hallo zusammen,
habe die obige Aufgabe gelöst, indem ich zusätzlich definiert habe:
[mm]X_i[/mm] gibt das Ergebnis des i-ten Wurfes an (1 für Kopf und 0 für Zahl) für alle [mm]1\le i\le n[/mm].
(Also sind die [mm]X_i[/mm] stoch. unabhängig und identisch B(1,0.5)-verteilt).
Dann gilt entsprechend
[mm]X=\sum_{i=1}^{n}X_i[/mm] und [mm]Y=\sum_{i=1}^{n-1}1_{\{X_i=X_{i+1}=1\}}[/mm].
Habe dann damit E[XY](über Doppelsummen),E[X]und E[Y] berechnet. Gibt es einen anderen, einfacheren Weg?
Liebe Grüße,
Christian
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Hallo Fry,
> Sie werfen n-mal eine faire Münze ([mm]n\in\mathbb N_{\ge 2})[/mm],
> die Kopf oder Zahl zeigen kann. Die Zufallsvariable [mm]Y[/mm] gebe
> an, wie häufig bei zwei aufeinanderfolgenden Würfen Kopf
> erscheint, [mm]X[/mm] die Anzahl der Würfe bei denen Kopf
> erscheint.
>
> Berechnen Sie [mm]Cov(X,Y)[/mm].
> habe die obige Aufgabe gelöst, indem ich zusätzlich
> definiert habe:
> [mm]X_i[/mm] gibt das Ergebnis des i-ten Wurfes an (1 für Kopf und
> 0 für Zahl) für alle [mm]1\le i\le n[/mm].
> (Also sind die [mm]X_i[/mm]
> stoch. unabhängig und identisch B(1,0.5)-verteilt).
> Dann gilt entsprechend
> [mm]X=\sum_{i=1}^{n}X_i[/mm] und
> [mm]Y=\sum_{i=1}^{n-1}1_{\{X_i=X_{i+1}=1\}}[/mm].
Genau.
> Habe dann damit E[XY](über Doppelsummen),E[X]und E[Y]
> berechnet. Gibt es einen anderen, einfacheren Weg?
Ich glaube kein wesentlich einfacherer Weg.
Manchmal bedeutet es aber wesentlich weniger Rechenaufwand, die Bilinearität der Kovarianz auszunutzen.
Wenn du das machst, bekommst du zwar auch eine Doppelsumme, die sich aber sofort auflöst zu einer Summe über [mm] $2*Cov(X_j,1_{\{X_j = X_{j+1} = 1\}})$ [/mm] (wenn ich mich nicht verrechnet habe), was leicht zu berechnen ist.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:57 Mo 21.10.2013 | | Autor: | Fry |
Stimmt, vielen Dank, Stefan!
LG
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