Kovarianz Ornstein Uhlenbeck < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | http://www.ncer.edu.au/papers/documents/SDE.pdf Seite 46 oben |
Ich habe hier einen Term in der analytichen Lösung meines Prozesses der so aussieht
$$
[mm] \int\limits_{t_0}^t exp(\mathbf{F}(t-\tau))\mathbf{G}d\mathbf{W}(t)
[/mm]
$$
Hierbei sind sowohl [mm] $\mathbf{F}$ [/mm] als auch [mm] $\mathbf{G}$ $n\times [/mm] n$ Matrizen und [mm] d\mathbf{W} [/mm] is ein Vektor mit Inkrementen des Wiener Prozesses. Ich habe hier [mm] $\mathbf{\zeta} d\tau$
[/mm]
Damit ist das ganze ein stochastisches Integral (im Ito Sinne) und [mm] $\tau$ [/mm] eigentlich die Integrationsvariable.
Ich würd gern den Erwartungswert
$$
[mm] E\left[\left(\int\limits_{t_0}^t exp(\mathbf{F}(t-\tau))\mathbf{G}d\mathbf{W}\right) \left(\int\limits_{t_0}^t exp(\mathbf{F}(t-\tau))\mathbf{G}d\mathbf{W}\right)^T\right]
[/mm]
$$
bestimmen. Die Quelle "http://www.ncer.edu.au/papers/documents/SDE.pdf Seite 46 oben" gibt mir da eigentlich eine Rechnung aber mir ist dieser Schritt nicht ganz klar, wo der Erwartungswert ins Integral gezogen wird und aus dem produkt ein Doppelintegral gemacht wird. Vielleicht hat das was mit Ito isometry zu tun, aber das ist mir noch nicht deutlich wie sich das in diesem multidimensionalen Prozess verhält.
Ich hoffe das ich das einigermassen verständlich geschildert habe und hoffe, dass es da eine Antwort gibt die nicht allzuweit in die Integrationstheorie führt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:09 Mo 23.05.2016 | | Autor: | huddel |
hallo herb_at_meteo :)
> Ich habe hier einen Term in der analytichen Lösung meines
> Prozesses der so aussieht
>
> [mm][/mm]
> [mm]\int\limits_{t_0}^t exp(\mathbf{F}(t-\tau))\mathbf{G}d\mathbf{W}(t)[/mm]
> [mm][/mm]
>
> Hierbei sind sowohl [mm]\mathbf{F}[/mm] als auch [mm]\mathbf{G}[/mm] [mm]n\times n[/mm]
> Matrizen und [mm]d\mathbf{W}[/mm] is ein Vektor mit Inkrementen des
> Wiener Prozesses. Ich habe hier [mm]\mathbf{\zeta} d\tau[/mm]
> Damit
> ist das ganze ein stochastisches Integral (im Ito Sinne)
> und [mm]\tau[/mm] eigentlich die Integrationsvariable.
>
> Ich würd gern den Erwartungswert
>
> [mm][/mm]
> [mm]E\left[\left(\int\limits_{t_0}^t exp(\mathbf{F}(t-\tau))\mathbf{G}d\mathbf{W}\right) \left(\int\limits_{t_0}^t exp(\mathbf{F}(t-\tau))\mathbf{G}d\mathbf{W}\right)^T\right][/mm]
> [mm][/mm]
>
> bestimmen. Die Quelle
> "http://www.ncer.edu.au/papers/documents/SDE.pdf Seite 46
> oben" gibt mir da eigentlich eine Rechnung aber mir ist
> dieser Schritt nicht ganz klar, wo der Erwartungswert ins
> Integral gezogen wird und aus dem produkt ein
> Doppelintegral gemacht wird. Vielleicht hat das was mit Ito
> isometry zu tun, aber das ist mir noch nicht deutlich wie
> sich das in diesem multidimensionalen Prozess verhält.
Vorweg: ich bin mit deiner Notation nicht ganz einverstanden...
[mm] $\int\limits_{t_0}^t exp(\mathbf{F}(t-\tau))\mathbf{G}d\mathbf{W}(t)$
[/mm]
hier hast du $t$ sowohl als Grenze als auch als Integrationsvariable. Irgendwas passt da nicht.
[mm] $E\left[\left(\int\limits_{t_0}^t exp(\mathbf{F}(t-\tau))\mathbf{G}d\mathbf{W}\right) \left(\int\limits_{t_0}^t exp(\mathbf{F}(t-\tau))\mathbf{G}d\mathbf{W}\right)^T\right]$
[/mm]
Wonach integrierst du hier?
zum Thema Erwartungswert und Integral vertauschen: Ich habs noch nicht hundertpro durchdachte, aber versuchs mal mit majorisierter Konvergenz.
zum Thema Doppelintegral: naja in dem Sinne wird es ja kein Doppelintegral. Für das Itô-Integral gilt:
Seien $X,Y$ stochastische Prozesse $a [mm] \in \mathbb{R}$, [/mm] dann gilt:
[mm] $\int_{t_0}^{t_1} [/mm] a [mm] X_{t}dY_t [/mm] = a [mm] \int_{t_0}^{t_1} X_{t}dY_t$
[/mm]
nun gilt [mm] $\int\limits_{t_0}^t exp(\mathbf{F}(t-\tau))\mathbf{G}d\mathbf{W} \in \mathbb{R}$ [/mm]
den Rest bekommst du hin, wenn du die Intregrationsvariablen genau betrachtest.
> Ich hoffe das ich das einigermassen verständlich
> geschildert habe und hoffe, dass es da eine Antwort gibt
> die nicht allzuweit in die Integrationstheorie führt.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
Huddel :)
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In dem Term ist [mm] $\tau$ [/mm] die Integrationsvariable, nicht t. Ich muss zugeben, es ist ein gegen die Intuition, aber eigentlich hätt ich auch [mm] $exp(\mathbf{F}t)$ [/mm] aus dem Integral rausziehen können.
Hierbei ist [mm] $exp(-\mathbf{F}\tau)$ [/mm] kein stochastischer Prozess [mm] ($\mathbf{F}$ [/mm] ist eine konstante Matrix, hab ich vergessen zu schreiben), jedoch eine Funktion von [mm] $\tau$ [/mm] deswegen kann ich das eher nicht aus dem Integral ziehen, denk ich. Hast du das gemeint mit [mm] \
[/mm]
Das Argument, was das ganze nicht wirklich zum Doppelintegral macht hab ich noch nicht wirklich verstanden. [mm] $a\in \mathbb{R}$ [/mm] ist dann eine Konstante, vielleicht wenn ich dieses [mm] $exp(\mathbf{F}t)$ [/mm] aus dem Integral ziehe ist es besser zu sehen meinst du? Das mit der majorisierten Konvergenz muss ich mir nochmal angucken. Danke erstmal für die Tips!
LG
herb
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 Mo 23.05.2016 | | Autor: | huddel |
> In dem Term ist [mm]\tau[/mm] die Integrationsvariable, nicht t.
Dann solltest du das auch so schreiben ;)
[mm] $\int\limits_{t_0}^t exp(\mathbf{F}(t-\tau))\mathbf{G}d\mathbf{W}(\tau) [/mm] = [mm] \int\limits_{t_0}^t exp(\mathbf{F}(t-\tau))\mathbf{G}d\mathbf{W}_{\tau}$
[/mm]
(ich mag zweite Konvention lieber und werde damit weitermachen)
> Ich muss zugeben, es ist ein gegen die Intuition, aber
> eigentlich hätt ich auch [mm]exp(\mathbf{F}t)[/mm] aus dem Integral
> rausziehen können.
> Hierbei ist [mm]exp(-\mathbf{F}\tau)[/mm] kein stochastischer
> Prozess ([mm]\mathbf{F}[/mm] ist eine konstante Matrix, hab ich
> vergessen zu schreiben), jedoch eine Funktion von [mm]\tau[/mm]
davon bin ich ausgegangen, als du von einer [mm] $n\times [/mm] n$ Matrix gesprochen hast, aber ja du hast recht, korrekterweiße sollte man sagen, dass diese deterministisch ist.
> deswegen kann ich das eher nicht aus dem Integral ziehen, denk ich.
richtig
> Hast du das gemeint mit [mm]\[/mm]
ja
> Das Argument, was das ganze nicht wirklich zum
> Doppelintegral macht hab ich noch nicht wirklich
> verstanden. [mm]a\in \mathbb{R}[/mm] ist dann eine Konstante,
> vielleicht wenn ich dieses [mm]exp(\mathbf{F}t)[/mm] aus dem
> Integral ziehe ist es besser zu sehen meinst du?
nope:
Ich schreibe das mal etwas um (ich hab hier die Integrationsvariable mal mit eingefügt):
$ [mm] E\left[\left(\int\limits_{t_0}^t exp(\mathbf{F}(t-\tau))\mathbf{G}d\mathbf{W}_{\tau} \right) \left(\int\limits_{t_0}^t exp(\mathbf{F}(t-\tau))\mathbf{G}d\mathbf{W}_{\tau} \right)^T\right] [/mm] = [mm] E\left[\left(\int\limits_{t_0}^t exp(\mathbf{F}(t-\tau))\mathbf{G}d\mathbf{W}_{\tau} \right) \left(\int\limits_{t_0}^t exp(\mathbf{F}(t-\rho))\mathbf{G}d\mathbf{W}_{\rho} \right)^T\right]$
[/mm]
Jetzt ist [mm] $\int\limits_{t_0}^t exp(\mathbf{F}(t-\tau))\mathbf{G}d\mathbf{W}_{\tau}$ [/mm] bzgl. dem zweiten Integral eine Konstante und kann reingezogen werden. Natürlich erst nachdem du dir überlegt hast, warum es egal ist ob du erst integrierst und dann transponierst oder erst transponierst und dann integrierst.
> Das mit der majorisierten Konvergenz muss ich mir nochmal angucken.
> Danke erstmal für die Tips!
>
> LG
> herb
LG
Huddel
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Ok ich denke das hilft mir sehr viel weiter vielen Dank. Ich bin denk ich mit der Integrationsvariable auch sehr durcheinander gekommen, aber dann ergibt es Sinn.
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