Kovarianz eines Produkts < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=566799]
Ich stehe vor dem folgenden Problem:
Ausgangslage: Die beiden Zufallsvariablen X und Y korrelieren nichtnegativ, d.h. es gilt cov(X,Y) >= 0. Beide Variablen nehmen nur nichtnegative Werte an: X >= 0, Y >= 0. Falls es noch weiter hilft: Die Summe der Y-Werte ist 1.
Sonst ist über die beiden Variablen nichts bekannt (z. B. ob sie unabhängig voneinander sind oder nicht etc.).
Irgendwo habe ich gelesen, dass die Korrelation (im Unterschied zur Kausalität) nicht transitiv ist. Mit anderen Worten: Man kann aus cov(A,B) > 0 und cov(B,C) > 0 nicht folgern: cov(A,C) > 0. Falls jemand eine Literaturquelle mit einem einfachen Gegenbeispiel hat: Bitte angeben, das kann ich ebenfalls gut gebrauchen.
Nun meine eigentliche Frage:
Folgt aus cov(X,Y) >= 0 auch cov(X*Y,Y) >= 0 ???
Anders gefragt: Wenn X und Y positiv korrelieren, korreliert dann auch das Produkt aus X und Y (d.h. X*Y) positiv (oder wenigstens nichtnegativ) mit Y?
Mir würde auch ein Hinweis auf die Literatur genügen (z. B. "in dem Buch 'Kovarianz für Dummies' wird im 3. Kapitel der Satz von Superschlau und Oberklug bewiesen, aus dem deine Vermutung als Nebenresultat folgt"). Oder meinetwegen ein Hinweis auf ein Gegenbeispiel.
Meine bisherigen "Beweisversuche":
Zunächst habe ich gedacht, ich könnte einfach den Verschiebesatz anwenden:
cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) >=0
und dann:
cov (XY,Y) = E(XYY) - E(XY)E(Y) = (Einsatz der 1. Gleichung)
E(XYY) - E(X)E(Y)E(Z) - cov(X,Y)E(Y)
Für eine Abschätzung weist der dritte Summand jedoch leider in die falsche Richtung, d.h. ich komme an der Stelle nicht weiter. Offenkundig ist das Problem alles andere als trivial. Ich nehme mittlerweile sogar an, dass meine Vermutung nur für nichtnegative Variablen X und Y (wie in meinem Fall) richtig ist, dass man also diese Nebenbedingung in den Beweis einfließen lassen muss.
Ich habe mal versuchsweise angenommen, dass die Behauptung falsch ist und mir ein Excel-Spreadsheet konstruiert, in dem sich die Werte für X und Y leicht manipulieren lassen. Zwar habe ich viele Beispiele gefunden für cov(X,Y) < 0 aber cov(X*Y,Y) > 0, jedoch kein einziges, wo sich die Relation umkehrt (was ein Widerspruch zu meiner Vermutung wäre).
Auch habe ich in paar Bücher und in Wikipedia geschaut, bin aber auf keine vergleichbare Problemstellung gestoßen.
Danke im Voraus
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Hiho,
nur kurz, da kaum Zeit:
> Nun meine eigentliche Frage:
> Folgt aus cov(X,Y) >= 0 auch cov(X*Y,Y) >= 0 ???
> Anders gefragt: Wenn X und Y positiv korrelieren,
> korreliert dann auch das Produkt aus X und Y (d.h. X*Y)
> positiv (oder wenigstens nichtnegativ) mit Y?
nein. Im Allgemeinen gilt das nicht.
Nehme $X = Y [mm] \in \{-1.25, 0.25, 0.75\}$ [/mm] gleichverteilt, dann ist offensichtlich:
$Cov(X,Y) = Cov(X,X) = Var(X) [mm] \ge [/mm] 0$ aber $Cov(XY,Y) = [mm] Cov(X^2,X) [/mm] = [mm] E[X^3] [/mm] < 0$
Deine Vermutung, dass der ganze Spaß für nichtnegative X und Y aber funktionieren müsste, würde ich intuitiv erstmal bestätigen, auch wenn ich noch keinen sauberen Beweis dafür gerade parat hab.
Zu deinen restlichen Fragen später gerne mehr, wenn ich mehr Zeit hat 
edit: Deine restlichen Fragen lassen sich einfach beantworten, denn: Für nichtnegative X,Y ist Cov(X,Y) immer nichtnegativ. Daraus folgt dann deine Aussage wie gewünscht.
Definiere dazu $f(X,Y) = XY$ und wende die Jensensche Ungleichung an.
Gruß,
Gono
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Danke für die Antwort.
Du schreibst: "denn: Für nichtnegative X,Y ist Cov(X,Y) immer nichtnegativ."
Wenn X und Y nicht negativ, aber gegenläufig sind (z. B. X1=1, X2=2, X3=3; Y1=3, Y2=2, Y3=1), dann ist Cov(X,Y)<0.
Ferner: "Definiere dazu f(X,Y) = XY und wende die Jensensche Ungleichung an."
Wie kann ich zeigen, dass f(X,Y) = XY eine konvexe Funktion ist? Denn nur dann kann ich die Jensensche Ungleichung anwenden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:22 Fr 01.04.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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