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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 Do 08.12.2005 | | Autor: | Nescio |
Hallo:)
ich habe die folgende Aufgabe zu lösen:
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{(n+1)^{n-1}}{(-n)^{n}}
[/mm]
habe mir nun folgendes gedacht:
Bildung der Partialsumme [mm] \summe_{n=2}^{ \infty} \bruch{(n+1)^{n-1}}{(-n)^{n}}
[/mm]
Zeige [mm] \exists [/mm] q< 1 und N [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \summe_{n=2}^{ \infty} \bruch{(n+1)^{n-1}}{(-n)^{n}}
[/mm]
Beweis:
Leibnizsches Kriterium anwenden:
[mm] \bruch{(n+1)^{n-1}}{(-n)^{n}} [/mm] = [mm] (-1)^{n} a_{n}
[/mm]
[mm] a_{n}= \bruch{(n+1)^{n-1}}{(n)^{n}}
[/mm]
Wurzelkriterium anweden
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] < q < 1
Setze [mm] a_{n}= \bruch{(n+1)^{n-1}}{(n)^{n}}
[/mm]
[mm] \bruch{ \bruch{(n+2)^{n}}{(n+1)^{n+1}}}{ \bruch{(n+1)^{n-1}}{n^{n}}}
[/mm]
= [mm] \bruch{(n+2)^{n}}{(n+1)^{n+1}} \bruch{n^{n}}{(n+1)^{n-1}}
[/mm]
= [mm] \bruch{((n+2) n)^{n}}{(n+1)^{n+1+n-1}} [/mm]
= [mm] \bruch{(n^{2} + 2n)^{n}}{(n+1)^{2n}}
[/mm]
= [mm] \bruch{(n^{2} + 2n)^{n}}{((n+1)^{2})^{n}} [/mm]
binom. Formel anwenden
= [mm] \bruch{((n+1)^{2}-1)^{n}}{((n+1)^{2})^{n}}
[/mm]
= [mm] (\bruch{-1}{(n+1)^{2}})^{n}
[/mm]
Wir wissen
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{-1}{(n+1)^{2}})^{n}= [/mm] 0,
d.h. [mm] \forall [/mm] q>0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N
[mm] |(\bruch{-1}{(n+1)^{2}})^{n}| \le (\bruch{-1}{(n+1)})^{n} \le [/mm] q < 1
Wähle q z.B. 0< q= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] < 1, so dass gilt
[mm] (\bruch{-1}{(n+1)})^{n} \le [/mm] q < 1
Stimmt das so? Wenn nicht, was habe ich falsch gemacht und wie kann ich es anders machen?
Vielen Dank schon einmal für eure Hilfe!!!!!! 
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Hallo,
da brauchst du keine Hilfe. Ist alles schlüssig und stimmt! Der Term am Ende ist sicherlich eine Nullfolge. Damit konvergiert das Ganze nach Leibniz!
Viele Grüße
Daniel
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Gute Idee ...
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]"){kind=small}
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