Kovergenzradius und Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:01 Sa 04.06.2011 | | Autor: | bree_ |
Stimmt das? Der Konvergenzradius von [mm] \summe_{k=0}^{\infty} k(k²-1)x^{k} [/mm] ist
$ [mm] r=\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}sup\wurzel[k]{k^{3}-k}}= [/mm] 1
Nun ist gefragt: Berechnen Sie mit Hilfe eines geeigneten Cauchy-Produkt den Grenzwert der Reihe
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} k(k²-1)x^{k}
[/mm]
Hinweis: [mm] \summe_{k=0}^n \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}
[/mm]
Ich weiß wirklich garnicht, was ich da machen soll. Cauchy Produkt ist mir auch nicht wirklich vertraut.
Danke!
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Hallo bree_,
Bitte Exponenten IMMER (!!!!) mit dem Dach ^ links neben der 1 machen.
Sonst werden sie nicht angezeigt!
> Stimmt das? Der Konvergenzradius von [mm]\summe_{k=0}^{\infty} k(k²-1)x^{k}[/mm]
[mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}k(k^{\red{2}}-1)x^k[/mm] ist gemeint
> ist
> $
> [mm]r=\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}sup\wurzel[k]{k^{3}-k}}=[/mm] 1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nun ist gefragt: Berechnen Sie mit Hilfe eines geeigneten
> Cauchy-Produkt den Grenzwert der Reihe
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} k(k²-1)x^{k}[/mm]
Wieder ...
>
> Hinweis: [mm]\summe_{k=0}^n \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}[/mm]
Was ist das für ein Hinweis?
[mm](n+1)[/mm]-mal wird ein konstanter Ausdruck summiert, also ist die Summe [mm]=(n+1)\cdot{}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/mm]
Gemeint ist sicher [mm]\sum\limits_{k=0}^n\red{k^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/mm]
Bitte gib dir mehr Mühe beim Eintippen und nutze VOR (!!) dem Absenden die Vorschaufunktion, um solche Schnitzer auszubessern ...
>
> Ich weiß wirklich garnicht, was ich da machen soll. Cauchy
> Produkt ist mir auch nicht wirklich vertraut.
Dann solltest du dir das schnellstens anschauen.
Alternativ weißt du, dass für $|x|<1$ gilt: [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}x^k=\frac{1}{1-x}=:f(x)$ [/mm] ist.
Leite beiderseits 3mal ab (in der Summe gliedweise), dann kannst du umformen zu deinem obigen Ausdruck ...
>
> Danke!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Sa 04.06.2011 | | Autor: | bree_ |
Entschuldige, mir sind ein paar blöde Flüchtigkeitsfehler passiert. Du hattest beides mal recht mit deiner Verbesserung.
Leider komm ich mit deinem Lösungshinweis nicht weiter.
Welches ist denn hier das geeignete Cauchy-Produkt? Meine Unterlagen reichen mir nicht aus um damit eine Lösung zu finden.
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Hallo nochmal,
> Entschuldige, mir sind ein paar blöde Flüchtigkeitsfehler
> passiert. Du hattest beides mal recht mit deiner
> Verbesserung.
>
> Leider komm ich mit deinem Lösungshinweis nicht weiter.
> Welches ist denn hier das geeignete Cauchy-Produkt?
Na, was ist denn naheliegend?
Berechne mal [mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}x^k\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{\infty}x^k[/mm]
Und das Ergebnis nochmal mit [mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}x^k[/mm] multiplizieren (Cauchyprodukt)
Dann solltest du sehen, worauf es hinausläuft!
> Meine Unterlagen reichen mir nicht aus um damit eine Lösung zu
> finden.
Was steht denn da zum Cauchyprodukt?
Gruß
schachuzipus
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