Kraftfeld & Potenzial < Mechanik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Sa 28.01.2012 | | Autor: | murmel |
| Aufgabe | [mm]\vec F = F_0 \left( xy, f(x,z), z^2 \right)[/mm]
(i.) Das Kraftfeld beinhaltet eine noch unbekannte Funktion $f(x,z)$, die von den Variablen $x$ und $z$ abhangen darf (nicht muss!). Bestimm diese Funktion so, dass [mm] $\vec [/mm] F$ konservativ ist!
(ii.) Berechne das Potenzial $V (x, y, z)$ des oben gegebenen Kraftfeldes unter der Bedingung $V (1, 1, 1) = 5/6$! |
Hallo, leider habe nicht bestanden :o(
und ich raff's nicht, wieder umsonst gelernt.
Das $0 = [mm] \vec \nabla \times \vec [/mm] F$ ist mir klar!
Für $f(x,z) = y$ dachte ich mir in der Klausur!
ANMERKUNG: Richtig wäre wohl das hier gewesen:
$f(x,z) = [mm] \bruch{1}{2}x^2$
[/mm]
Das fällt mir erst jetzt auf, Tage nach der Klausur!
Ich bin echt am Verzweifeln.
Das Potenzial zu ermitteln, habe ich nicht verstanden und stelle mich immer wieder total dämlich an.
Es wäre sehr nett, wenn mir jemand das Ermitteln des Potenzials idiotensicher an mindestens drei Beispielen erklären könnte, um ein Muster zu erkennen.
Ist halt schlecht, wenn man Mathe weder als Haupt- noch als Nebenfach hat.
Vielen Dank.
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Hallo murmel,
> [mm]\vec F = F_0 \left( xy, f(x,z), z^2 \right)[/mm]
>
> (i.) Das Kraftfeld beinhaltet eine noch unbekannte Funktion
> [mm]f(x,z)[/mm], die von den Variablen [mm]x[/mm] und [mm]z[/mm] abhangen darf (nicht
> muss!). Bestimm diese Funktion so, dass [mm]\vec F[/mm] konservativ
> ist!
>
> (ii.) Berechne das Potenzial [mm]V (x, y, z)[/mm] des oben gegebenen
> Kraftfeldes unter der Bedingung [mm]V (1, 1, 1) = 5/6[/mm]!
>
>
> Hallo, leider habe nicht bestanden :o(
> und ich raff's nicht, wieder umsonst gelernt.
>
> Das [mm]0 = \vec \nabla \times \vec F[/mm] ist mir klar!
> Für [mm]f(x,z) = y[/mm] dachte ich mir in der Klausur!
>
>
> ANMERKUNG: Richtig wäre wohl das hier gewesen:
>
> [mm]f(x,z) = \bruch{1}{2}x^2[/mm]
>
> Das fällt mir erst jetzt auf, Tage nach der Klausur!
>
> Ich bin echt am Verzweifeln.
>
> Das Potenzial zu ermitteln, habe ich nicht verstanden und
> stelle mich immer wieder total dämlich an.
>
> Es wäre sehr nett, wenn mir jemand das Ermitteln des
> Potenzials idiotensicher an mindestens drei Beispielen
> erklären könnte, um ein Muster zu erkennen.
Die Kenntnis, daß [mm]0 = \vec \nabla \times \vec F[/mm] führt
auf die Integrabilitätsbedingungen.
Dazu sei
[mm]\vec F = \left( xy, f(x,z), z^2 \right)=\left(F_{1}\left(x,y,z\right), \ F_{2}\left(x,y,z\right) , \ F_{3}\left(x,y,z\right) \right)\right)[/mm]
Daraus ergeben sich dann folgende Bedingungen:
[mm]\bruch{\partial F_{1}}{\partial y}=\bruch{\partial F_{2}}{\partial x}, \ \bruch{\partial F_{1}}{\partial z}=\bruch{\partial F_{3}}{\partial x}, \ \bruch{\partial F_{2}}{\partial z}=\bruch{\partial F_{3}}{\partial y}[/mm]
> Ist halt schlecht, wenn man Mathe weder als Haupt- noch
> als Nebenfach hat.
>
>
> Vielen Dank.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 Sa 28.01.2012 | | Autor: | murmel |
Ich danke dir Mathepower!
Jedoch muss ich mit Verlaub anmerken, dass diese "Integrabilitätsbedingung", die auch in der Vorlesung "mal" genannt wurde, so wie sie da steht, mir gar nichts bringt.
Das Problem: das sind doch partielle Ableitungen! Mir ist bewusst, dass aus der Integration des Kraftfeldes dann auch das Potenzial gefunden werden kann. Jedoch kann ich mit der Integrabilitätsbedingung absolut gar nichts anfangen!
Der Dozierende hat dabei folgende Konvention genannt, mag sein, dass nun der ein oder andere Matheakrobat, ~jongleur damit die feinsten geistigen Ergüsse erzielt, ich raffe jedoch gar nichts:
Das Kraftfeld:
$ [mm] \vec [/mm] F = [mm] F_0 \left( xy, \bruch{1}{2}x^2, z^2 \right) [/mm] $
[mm]V = - \int^{x'}\,F_{x}\, \mathrm{d}x' + f(y,z) [/mm]
[mm]V = - \int^{y'}\,F_{y}\, \mathrm{d}y' + f(x,z) [/mm]
[mm]V = - \int^{z'}\,F_{z}\, \mathrm{d}z' + f(x,y) [/mm]
Dann ist mal die Rede davon, dass die eine Funktion, beispielsweise $f(x,z)$ auch in den anderen mit drin steckt, aber ich peile das nicht. Es ist mir zu abstrakt -nicht greifbar und ohne Bezug! Das kann mein kleines überfordertes Gehirn nicht verarbeiten und schon gar nicht unter Zeitdruck.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:49 So 29.01.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Ich danke dir Mathepower!
>
> Jedoch muss ich mit Verlaub anmerken, dass diese
> "Integrabilitätsbedingung", die auch in der Vorlesung
> "mal" genannt wurde, so wie sie da steht, mir gar nichts
> bringt.
> Das Problem: das sind doch partielle Ableitungen! Mir ist
> bewusst, dass aus der Integration des Kraftfeldes dann auch
> das Potenzial gefunden werden kann. Jedoch kann ich mit der
> Integrabilitätsbedingung absolut gar nichts anfangen!
was heißt, Du kannst damit nichts anfangen? Weißt Du nicht was partielle Ableitungen sind, oder wo ist das Problem?
Die Bedingung [mm] $\nabla\times\vec{F}=0$ [/mm] muss eben erfüllt sein, damit das Feld konservativ ist. Konservativ heißt, dass das Kurvenintegral über geschlossene Wege verschwindet, also:
[mm] $\oint_S \vec F(\vec r)\,\mathrm [/mm] d [mm] \vec [/mm] r = 0$
Das ist genau dann der Fall, wenn es eine skalare Funktion $V(x,y,z)$ gibt, mit [mm] $\nabla V=\vec{F}$, [/mm] dann gilt nämlich:
[mm] $\oint_S \nabla\,V(\vec r)\,\mathrm [/mm] d [mm] \vec [/mm] r [mm] =\int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_1} \nabla\,V(\vec r)\,\mathrm [/mm] d [mm] \vec [/mm] r [mm] =V(\vec{r}_1)-V(\vec{r}_1)=0$
[/mm]
Man muss also in der Summe keine Energie aufwenden um, sich in einem solchen Kraftfeld auf einem geschlossenen weg zu bewegen - die Energie bleibt erhalten bzw. ist konservativ. Daher der Name.
Das war die Theorie, jetzt kommt die Praxis.
Dass die Rotation verschwinden muss gibt uns folgende Gleichungen:
[mm] $\nabla\times\vec{F}=\left(\begin{array}{c}
\frac{\partial}{\partial x}\\
\frac{\partial}{\partial y}\\
\frac{\partial}{\partial z}\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}
xy\\
f(x,z)\\
z^{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
-\frac{\partial}{\partial z}f(x,z)\\
0\\
\frac{\partial}{\partial x}f(x,z)-x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
0\end{array}\right)$
[/mm]
Ich fange mal mit der ersten an:
[mm] $-\frac{\partial}{\partial z}f(x,z)=0\Rightarrow \frac{\partial}{\partial z}f(x,z)=0$
[/mm]
Jetzt muss eine Funktion $f(x,z) gefunden werden, die das erfüllt.
Die Ableitung einer Funktion ist nur 0, wenn sie konstant ist, also muss gelten $f(x,z)=c$
Da aber nur partiell nach z abgeleitet wurde und Terme die x enthalten dabei als konstant gelten, kann dieses c jedoch von x abhängen: $f(x,z)=c(x)$
So, die zweite Gleichung ist immer erfüllt -> prima.
Jetzt versuche mal eine Funktion zu finden, die die dritte Gleichung [mm] $\frac{\partial}{\partial x}f(x,z)-x=0$ [/mm] erfüllt. Dazu ist Integration notwednig.
>
>
> Der Dozierende hat dabei folgende Konvention genannt, mag
> sein, dass nun der ein oder andere Matheakrobat, ~jongleur
> damit die feinsten geistigen Ergüsse erzielt, ich raffe
> jedoch gar nichts:
Eins nach dem Anderen. Wir wollen erstmal das Feld so bestimmen, dass es konservativ ist, dann kommt das Potential.
>
> Das Kraftfeld:
>
> [mm]\vec F = F_0 \left( xy, \bruch{1}{2}x^2, z^2 \right)[/mm]
>
> [mm]V = - \int^{x'}\,F_{x}\, \mathrm{d}x' + f(y,z) [/mm]
>
> [mm]V = - \int^{y'}\,F_{y}\, \mathrm{d}y' + f(x,z) [/mm]
>
> [mm]V = - \int^{z'}\,F_{z}\, \mathrm{d}z' + f(x,y) [/mm]
>
>
> Dann ist mal die Rede davon, dass die eine Funktion,
> beispielsweise [mm]f(x,z)[/mm] auch in den anderen mit drin steckt,
> aber ich peile das nicht. Es ist mir zu abstrakt -nicht
> greifbar und ohne Bezug! Das kann mein kleines
> überfordertes Gehirn nicht verarbeiten und schon gar nicht
> unter Zeitdruck.
Ganz ruhig - kommt Zeit, kommt Rat 
>
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 Sa 28.01.2012 | | Autor: | murmel |
$ V = - [mm] \int^{x'}\,F_{x}\, \mathrm{d}x' [/mm] + f(y,z) = [mm] -\bruch{1}{2}x^2\,y [/mm] + f(y,z)$
$ V = - [mm] \int^{y'}\,F_{y}\, \mathrm{d}y' [/mm] + f(x,z) = [mm] -\bruch{1}{2}x^2\,y [/mm] + f(x,z)$
$ V = - [mm] \int^{z'}\,F_{z}\, \mathrm{d}z' [/mm] + f(x,y) = [mm] -\bruch{1}{3}z^3 [/mm] + f(x,y)$
Und daraus:
[mm]V = -\bruch{1}{2}x^2\,y - \bruch{1}{3}z^3 + f(x,y)[/mm]
Wenn man nun noch in der Aufgabenstellung verlangte, das Potenzial unter der Bedignung $V(1,1,1) = 5/6 $ zu berechnen, käme dann das heraus:
[mm]V = -\bruch{1}{2}\cdot 1^2 \cdot 1 - \bruch{1}{3} \cdot 1^3 + f(x,y) = - \bruch{5}{6}[/mm],
wäre dies das Ergebnis?
Mit $f(x,y) = 0$
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:24 So 29.01.2012 | | Autor: | notinX |
> [mm]V = - \int^{x'}\,F_{x}\, \mathrm{d}x' + f(y,z) = -\bruch{1}{2}x^2\,y + f(y,z)[/mm]
Eigentlich müsste es eher so heißen:
$V = - [mm] \int^{x'}\,F_{x}\, \mathrm{d}x'= -\bruch{1}{2}x^2\,y [/mm] + f(y,z)$
die Konstante (bezüglich x) $f(y,z)$ entsteht erst durch die Integraion. Analog für die anderen Komponenten.
>
> [mm]V = - \int^{y'}\,F_{y}\, \mathrm{d}y' + f(x,z) = -\bruch{1}{2}x^2\,y + f(x,z)[/mm]
>
> [mm]V = - \int^{z'}\,F_{z}\, \mathrm{d}z' + f(x,y) = -\bruch{1}{3}z^3 + f(x,y)[/mm]
>
>
> Und daraus:
>
>
> [mm]V = -\bruch{1}{2}x^2\,y - \bruch{1}{3}z^3 + f(x,y)[/mm]
Nein, jetzt darf die additive Konstante nicht mehr von Variablen abhängen, sonst wäre die Bedingung [mm] $\nabla V=\vec{F}$ [/mm] i.A. nicht erfüllt.
Das Potential sieht also so aus:
[mm] $V(\vec{r}) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}x^2\,y [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}z^3 [/mm] + [mm] c_0$
[/mm]
>
>
> Wenn man nun noch in der Aufgabenstellung verlangte, das
> Potenzial unter der Bedignung [mm]V(1,1,1) = 5/6[/mm] zu berechnen,
> käme dann das heraus:
>
> [mm]V = -\bruch{1}{2}\cdot 1^2 \cdot 1 - \bruch{1}{3} \cdot 1^3 + f(x,y) = - \bruch{5}{6}[/mm],
>
> wäre dies das Ergebnis?
>
> Mit [mm]f(x,y) = 0[/mm]
>
Nein, wie bereits gesagt darf die Konstante nicht mehr von Variablen abhängen. Außerdem wird die Gleichung
[mm] $-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+c_0=\frac{5}{6}$ [/mm]
nicht durch [mm] $c_0=0$ [/mm] gelöst.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 So 05.02.2012 | | Autor: | murmel |
| Aufgabe | Berechne das Potenzial unter der Bedingung $V(1,1,1) = 5/6$
des Kraftfeldes, wobei hier [mm] $F_0 [/mm] = 1 $ und für die Rechnung außer Acht gelassen werden kann:
[mm]F_0\left( xy, \textcolor{blue}{f\left( x,z \right)}, z^2 \right)[/mm] |
Hallo eine spezielle Frage zum Potenzial:
Hätte ich statt des oben genannten Kraftfeldes dieses Feld
[mm]F_0 \left( xy,\textcolor{blue}{0},z^2 \right)[/mm]
und würde entsprechend integrieren, bekäme ich mit der o.g. Bedingung und $x = 1$, $y = 1$, $z = 1$:
[mm] \bruch{5}{6} = - \bruch{1}{2}x^2\,y + C\left( x,z \right) - \bruch{1}{3}z^3[/mm]
[mm] \bruch{5}{6} = - \bruch{1}{2} + C\left( x,z \right) - \bruch{1}{3} [/mm]
und könnte nun nach $C(x,z)$ auflösen.
Wie sieht es denn aber für das oben in der Aufgabe gegebene Kraftfeld aus? Addiere ich "einfach" eine Unbekannte Konstante dazu? Was muss ich beachten?
Vielen Dank für eure Hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 So 05.02.2012 | | Autor: | murmel |
Oh, hat sich erledigt!
Danke.
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