Kreis-Tangente < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Wie lautet die Gleichung der Tangente an den Kreis k: (x-2)²+(y+1)² = 20 im Punkt P (6|1) ?
b) Wie lautet die Gleichung der zur Tangente in P parallen Tangente an den Kreis ? In welchem Punkt Q berphrt diese Tangente den Kreis ? |
Hallo,
also der Mittelpunkt des Kreises ist M(2|-1) , r = [mm] \wurzel{20}.
[/mm]
Habe jetzt zwei Punkte M(2|-1) und P(6|1).
Die Steigung beträgt [mm] \bruch{\deltay}{\deltax} [/mm] = [mm] \bruch{1-(-1)}{6-2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] , durch die Orthogonalitätsbedingung habe ich als zweite Steigung [mm] m_2 [/mm] = -2.
= > [mm] m_2 [/mm] = -2 und M(2|-1)
=> y = mx+b ( vereinfachter Ansatz )
-1 = -2*2 +b
b = 3
=> [mm] y_1= [/mm] -2x+3
Ist das richtig ?
Zu b )
Jetzt wird ja eine Tangente gesucht, die parallel zur ersten Tangente ist, also die gleiche Steigung hat.
Ich muss doch jetzt erst, die zweite Tangentengleichung mit der Kreisgleichung gleichsetzen , dann bekomme ich zwei Schnittpunkte raus und die dienen mir dann dazu, die Tangentengleichung zu bilden , also genug gequatsch:D :
[mm] y_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}x-2 [/mm] ( ist die Gerade MP)
=>
[mm] (x-2)^{2} [/mm] + [mm] (0,5x-2+1)^{2} [/mm] = 20
[mm] x^{2}-4x+4 +0,25x^{2}-x+1 [/mm] = 20
[mm] 1,25x^{2}-5x+5 [/mm] = 20
[mm] 1,25x^{2}-5x-15 [/mm] = 0
[mm] x^{2}-4x-12 [/mm] = 0
[mm] x_1 [/mm] = 6 , [mm] y_1 [/mm] = 1
[mm] x_2 [/mm] = -2 , [mm] y_2 [/mm] = -3
=> [mm] S_1(6|1) [/mm] ; [mm] S_2(-2|-3) [/mm] , also ist Q(-2|-3).
Jetzt die gesuchte Tangente :
[mm] m_2 [/mm] || [mm] m_3 [/mm] Q(-2|-3)
-3 = -2*(-2) +b
-3 = 4 + b
b = -7
=> [mm] t_2 [/mm] = -2x-7
Ist das alles so richtig ?
Vielen Dank im Voraus :)
|
|
| |
|
> Wie lautet die Gleichung der Tangente an den Kreis k:
> (x-2)²+(y+1)² = 20 im Punkt P (6|1) ?
>
> b) Wie lautet die Gleichung der zur Tangente in P parallen
> Tangente an den Kreis ? In welchem Punkt Q berphrt diese
> Tangente den Kreis ?
> Hallo,
>
> also der Mittelpunkt des Kreises ist M(2|-1) ,
> r = [mm]\wurzel{20}.[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Habe jetzt zwei Punkte M(2|-1) und P(6|1).
> Die Steigung beträgt [mm]\bruch{\deltay}{\deltax}[/mm] =
> [mm]\bruch{1-(-1)}{6-2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] , durch die
> Orthogonalitätsbedingung habe ich als zweite Steigung [mm]m_2[/mm]
> = -2.
Warum sprichst du da von "erster" und "zweiter"
Steigung ?
Bring doch die Sachen auf den Punkt und sprich
von der Steigung von MP und von der Steigung
der gesuchten Tangente !
> = > [mm]m_2[/mm] = -2 und M(2|-1)
> => y = mx+b ( vereinfachter Ansatz )
> -1 = -2*2 +b
> b = 3 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Die Tangente muss nicht durch M, sondern durch
P gehen !
> => [mm]y_1=[/mm] -2x+3
> Ist das richtig ?
Nein. Siehe oben.
> Zu b )
>
> Jetzt wird ja eine Tangente gesucht, die parallel zur
> ersten Tangente ist, also die gleiche Steigung hat.
> Ich muss doch jetzt erst, die zweite Tangentengleichung
> mit der Kreisgleichung gleichsetzen , dann bekomme ich zwei
> Schnittpunkte raus und die dienen mir dann dazu, die
> Tangentengleichung zu bilden , also genug gequatsch:D :
>
> [mm]y_2[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}x-2[/mm] ( ist die Gerade MP)
>
> =>
> [mm](x-2)^{2}[/mm] + [mm](0,5x-2+1)^{2}[/mm] = 20
> [mm]x^{2}-4x+4 +0,25x^{2}-x+1[/mm] = 20
> [mm]1,25x^{2}-5x+5[/mm] = 20
> [mm]1,25x^{2}-5x-15[/mm] = 0
> [mm]x^{2}-4x-12[/mm] = 0
>
> [mm]x_1[/mm] = 6 , [mm]y_1[/mm] = 1
> [mm]x_2[/mm] = -2 , [mm]y_2[/mm] = -3
>
> => [mm]S_1(6|1)[/mm] ; [mm]S_2(-2|-3)[/mm] , also ist Q(-2|-3).
Den Punkt Q könnte man aber auch viel einfacher
bestimmen. Es ist nur P an M zu spiegeln, um Q zu
erhalten !
> Jetzt die gesuchte Tangente :
> [mm]m_2[/mm] || [mm]m_3[/mm] Q(-2|-3)
>
> -3 = -2*(-2) +b
> -3 = 4 + b
> b = -7
>
> => [mm]t_2[/mm] = -2x-7 ()
(was genau bezeichnest du mit [mm] t_2 [/mm] ??)
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
Danke für die Korrektur.
Hab kurz noch eine Frage.
Ich weiß immernoch nicht , wie man spiegelt :s
Also wenn ich den Punkt P (6|1 ) und M (2|-1 )
Wie kann ich jetzt P an M spiegeln ? Was ist der Ansatz dafür ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 Di 15.01.2013 | | Autor: | abakus |
> Danke für die Korrektur.
>
> Hab kurz noch eine Frage.
>
> Ich weiß immernoch nicht , wie man spiegelt :s
>
> Also wenn ich den Punkt P (6|1 ) und M (2|-1 )
>
> Wie kann ich jetzt P an M spiegeln ? Was ist der Ansatz
> dafür ?
Hallo,
"gehe" von P zu M und von M aus nochmal genau so weit.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
Also wenn ich jetzt diese Punkte habe :
P(6|1) und M(2|-1)
So dann gehe ich erstmal den "Weg" PM , rechne also M-P. Kommt X(-4|-2) bei raus.
Dann gehe ich diesen "Weg" MX , rechne also X-M.
Kommt (-6|-1) raus.
Ist das so richtig ?
|
|
|
| |
|
> Also wenn ich jetzt diese Punkte habe :
>
> P(6|1) und M(2|-1)
>
> So dann gehe ich erstmal den "Weg" PM , rechne also M-P.
> Kommt X(-4|-2) bei raus.
Bezeichne dies besser nicht als X , sondern als Vektor [mm] \overrightarrow{PM} [/mm] !
> Dann gehe ich diesen "Weg" MX , rechne also X-M.
> Kommt (-6|-1) raus.
>
> Ist das so richtig ?
Nein.
Den richtigen Punkt Q erhältst du aus
[mm] $\overrightarrow{MQ}\ [/mm] =\ [mm] \overrightarrow{PM}$
[/mm]
bzw.
[mm] $\overrightarrow{Q}\ [/mm] =\ [mm] \overrightarrow{M}\ [/mm] +\ [mm] \overrightarrow{MQ}\ [/mm] =\ [mm] \overrightarrow{M}\ [/mm] +\ [mm] \overrightarrow{PM}\ [/mm] =\ [mm] 2\,\overrightarrow{M}-\overrightarrow{P}$
[/mm]
(für alle, die hier reinschauen: ich benütze seit
Jahrzehnten die Konvention, dass der Ortsvektor
[mm] \overrightarrow{OP} [/mm] eines Punktes P als [mm] \overrightarrow{P} [/mm] abgekürzt werden darf !)
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:43 Di 15.01.2013 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar , vielen Dank.
|
|
|
|
