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Kreis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:53 Sa 30.10.2010
Autor: Kuriger

Hallo

Ich weiss, dass ein Kreis in Parameterform die folgende Form hat.

r(t) = [mm] \vektor{x_m + r*cos(t) \\ y_m + r*sin(t)} [/mm]

Nun sehe ich im Skript, dass es bei dieser FUnktion: r = 6*sin(t) um einen Kreis handelt. leider kann ich das nicht ganz nachvollziehen
Denn:

x(t) = 6*sin(t) * cos(t)
y(t) = [mm] 6*sin^2(t) [/mm]

Also
r(t) = [mm] \vektor{6*sin(t) * cos(t) \\ 6*sin^2(t)} [/mm]
Aber das sieht ja nicht nach einem kreis aus, wenn ich dies mit der oben erwähnten Form vergleiche?

Danke, Gruss Kuriger

        
Bezug
Kreis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:04 Sa 30.10.2010
Autor: abakus


> Hallo
>  
> Ich weiss, dass ein Kreis in Parameterform die folgende
> Form hat.

Haben kann!

>  
> r(t) = [mm]\vektor{x_m + r*cos(t) \\ y_m + r*sin(t)}[/mm]

SO wird beschrieben, wie bei linear wachsendem t der überstrichene Winkel / die Bogenlänge ebenfalls linear wächst.
"r(t)" ist übrigens überflüssig, weil hier r nicht von t abhängt und immer konstant ist.
"r=..." würde hier genügen.

>  
> Nun sehe ich im Skript, dass es bei dieser FUnktion: r =
> 6*sin(t) um einen Kreis handelt. leider kann ich das nicht
> ganz nachvollziehen
>  Denn:
>  
> x(t) = 6*sin(t) * cos(t)
>  y(t) = [mm]6*sin^2(t)[/mm]

Der Bezugspunkt bei dieser Darstellung ist NICHT der Kreismittelpunkt, sondern der "untere Randpunkt" des Kreises als Startpunkt. Mit gleichmäßig wachsendem t wächst die Bogenlänge sehr ungleichmäßig (erst langsam, dann schnell, dann wieder langsamer).
Es ist halt ein völlig anderes Konzept.
Gruß Abakus

>  
> Also
>  r(t) = [mm]\vektor{6*sin(t) * cos(t) \\ 6*sin^2(t)}[/mm]
>  Aber das
> sieht ja nicht nach einem kreis aus, wenn ich dies mit der
> oben erwähnten Form vergleiche?
>  
> Danke, Gruss Kuriger


Bezug
                
Bezug
Kreis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:25 Sa 30.10.2010
Autor: Al-Chwarizmi


> > Hallo
>  >  
> > Ich weiss, dass ein Kreis in Parameterform die folgende
> > Form hat.
>  Haben kann!
>  >  
> > r(t) = [mm]\vektor{x_m + r*cos(t) \\ y_m + r*sin(t)}[/mm]
>  SO wird
> beschrieben, wie bei linear wachsendem t der überstrichene
> Winkel / die Bogenlänge ebenfalls linear wächst.
>  "r(t)" ist übrigens überflüssig, weil hier r nicht von
> t abhängt und immer konstant ist.       [haee]  [kopfschuettel]
>  "r=..." würde hier genügen.

Durchaus nicht. Aber Kuriger sollte auch in seiner Schreib-
weise klar machen, dass er mit r(t) nun den Ortsvektor
meint, also:

       [mm] $\vec{r}(t)\ [/mm] =\ [mm] \vektor{x_m + r*cos(t) \\ y_m + r*sin(t)}$ [/mm]

> > Nun sehe ich im Skript, dass es bei dieser Funktion: r = 6*sin(t)
> > um einen Kreis handelt.

    Bei diesem "r" handelt es sich um die skalare, vom Polar-
    winkel t abhängige Größe  $\ r(t)$

> > leider kann ich das nicht ganz nachvollziehen
>  >  Denn:
>  >  
> > x(t) = 6*sin(t) * cos(t)
>  >  y(t) = [mm]6*sin^2(t)[/mm]
>  Der Bezugspunkt bei dieser Darstellung ist NICHT der
> Kreismittelpunkt, sondern der "untere Randpunkt" des
> Kreises als Startpunkt. Mit gleichmäßig wachsendem t
> wächst die Bogenlänge sehr ungleichmäßig (erst langsam,
> dann schnell, dann wieder langsamer).
>  Es ist halt ein völlig anderes Konzept.
>  Gruß Abakus
>  >  
> > Also
>  >  r(t) = [mm]\vektor{6*sin(t) * cos(t) \\ 6*sin^2(t)}[/mm]
>  >  
> Aber das
> > sieht ja nicht nach einem kreis aus, wenn ich dies mit der
> > oben erwähnten Form vergleiche?
>  >  
> > Danke, Gruss Kuriger
>  

Durch trigonometrische Umformungen kann man zeigen:

      $\ x(t)\ =\ 6*sin(t)*cos(t)\ =\ 0+3*cos(s)$
      $\ y(t)\ =\ [mm] 6*sin^2(t)\ [/mm] =\ 3+3*sin(s)$

wobei  $\ s:=\ [mm] 2\,t-\frac{\pi}{2}$ [/mm]      (nur eine lineare Transformation)

Damit wird die Kreisdarstellung in kartesischen Koordinaten
sichtbar:  Mittelpunkt M(0/3) , Radius 3


LG     Al-Chw.

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