Kreis --- Länge Sekante < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Moin,
Klausuraufgabe 13. Klasse lautete:
a) Bestimmen Sie die Schnittpunkte von Kreis und Gerade
b) Bestimmen Sie die Länge der Strecke zwischen den Schnittpunkten.
Aufgabenteil a:
k: (x-3) 2 + (y-2) 2 = 6,25
g: y = - 1/2 x + 1
1. Einsetzen g in k --- Bestimmen Lösungen für x
(x-3) 2 + (-1/2 x + 1 - 2) 2 = 6,25
(x-3) 2 + (-1/2 x - 1) 2 = 6,25
x2 - 6x + 9 + 1/4 x2 - 2x * (-1/2) + 1 = 6,25
5/4 x2 - 5x + 10 = 6,25 I *4/5
x2 - 4x + 8 = 5 I -5
x2 - 4x + 3 = 0
p/q-Formel
x1 = - p/2 - wurzel [(p/2)2 - q]
x2 = - p/2 + wurzel [(p/2)2 - q]
x1 = - -4/2 - wurzel [(-4/2)2 - 3]
x1 = + 4/2 - wurzel [(16/4 - 3]
x1 = + 2 - wurzel [4 - 3]
x1 = + 2 - wurzel [1] = 1
x2 = - -4/2 + wurzel [(-4/2)2 - 3]
x2 = + 4/2 + wurzel [(16/4 - 3]
x2 = + 2 + wurzel [4 - 3]
x2 = + 2 + wurzel [1] = 3
x1 = 1 v x2 = 3
2. Lösungen für x einsetzen in Geradenleichung ---Bestimmung der zugehörigen y-Werte
y1 = - 1/2*1 + 1 = 1/2
y2 = - 1/2*3 + 1 ) - 1/2
=> Schnittpunkte der Sekante
S1 (x1/y1) = S1 (1 / 1/2)
S2 (x2/y2) = S2 (3 / -1/2)
soweit, so gut. Wie kriege ich aber nun die Länge der "Sekantenstrecke" heraus?
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Die Schnittpunkte sind beide richtig.
Jetzt fehlt nur noch der Abstand der beiden Punkte. Mit irgendwelchen Sekanteformeln brauchen wir da aber nicht rangehen, der Abstand zweier Punkte lässt sich leicht über den Pythagoras berechnen (kleine Zeichnung hilft).
Mit zwei Punkten [mm]A(x_A/y_A)[/mm] und [mm]B(x_B/y_B)[/mm] gilt:
[mm]d=\wurzel{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}[/mm]
Jetzt kannst es ja selber mal probieren, ich hab als Ergebnis [mm]d=\wurzel{5}[/mm] raus.
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