Kreis, Gauß'Ebene < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Aufgabe: Zeichnen Sie die folgenden Mengen in der Gaußschen Zahlenebene:
M1 = [mm] \{z \in \IC | | z-2+i | = 2 \} [/mm]
In der Lösung wird das dann zu [mm] |z-(2-i)|=2[/mm] umgeformt.
"Kreislinie um 2-i mit Radius 2".
Allein wäre cih da aber nie drauf gekommen, was ist das für eine merkwürdige Formel für einen Kreis?
Danke im Voraus!!
Chris
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Hallo Chris,
das, verallgemeinert, ist wirklich (des)merk(ens)würdig.
Alle Komplexen Zahlen $u + [mm] \iota [/mm] v$ mit gleichem Betrag r also [mm] $u^2 [/mm] + [mm] v^2 [/mm] = [mm] r^2$
[/mm]
liegen in der komplexen Ebene wo?
Und wenn man diese Figur nun um [mm] $+m_x$ [/mm] nach rechts und [mm] $+\iota m_y$ [/mm] nach oben
verschiebt wie ändert das die repräsentierten Komplexen Zahlen? Der Betrag
welcher ist dann konstant?
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Hallo Friedrich,
> Alle Komplexen Zahlen [mm]u + \iota v[/mm] mit gleichem Betrag r
> also [mm]u^2 + v^2 = r^2[/mm]
> liegen in der komplexen Ebene wo?
Auf einem Kreis um den Ursprung.
> Und wenn man diese Figur nun um [mm]+m_x[/mm] nach rechts und [mm]+\iota m_y[/mm]
> nach oben
> verschiebt wie ändert das die repräsentierten Komplexen
> Zahlen?
[mm](u+m_{x})^{2} + (v+m_{y})^{2} = r^{2}[/mm]
[mm]u^{2} + 2um_{x} + m_{x}^{2} + v^{2} + 2m_{y}v + m_{y}^{2} = r^{2} [/mm]
> Der Betrag
> welcher ist dann konstant?
Keine Ahnung. Durch Ausprobieren bin ich da nicht weitergekommen.
Gruß,
Chris
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:33 Mo 28.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Also, wir haben die Gleichung
$|z-(2-i)|=2$,
quadrieren diese:
[mm] $|z-(2-i)|^2=4$,
[/mm]
formen ein bisschen um:
$|(Re(z)-2) + [mm] i\cdot (Im(z)-(-1))|^2=4$,
[/mm]
und verwenden die Definition des Betrages:
[mm] $|x+iy|^2 [/mm] = [mm] (x+iy)\cdot [/mm] (x-iy) = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2$,
[/mm]
erhalten hier also:
[mm] $(Re(z)-2)^2 [/mm] + [mm] (Im(z)-(-1))^2 [/mm] = 4$.
Dies sollte dir bekannt vorkommen. Es entspricht der üblichen Kreisgleichung
[mm] $(x-m_x)^2 [/mm] + [mm] (y-m_y)^2=r^2$
[/mm]
eine Kreises um den Mittelpunkt [mm] $M=(m_x/m_y)$ [/mm] mir Radius $r$.
Hier haben wir also den Mittelpunkt $M=(2/-1)$ und den Radius $2$ in der Gaußschen Zahlenebene. Und als komplexe Zahl entsprich [mm] $(2/-1)\in \IR^2$ [/mm] eben gerade $2-i$.
Viele Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:55 Sa 05.03.2005 | | Autor: | chris2000 |
Vielen Dank, hab's verstanden 
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