Kreis Teilung berechnen < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:45 Mo 19.11.2012 | | Autor: | cleaner1 |
Hallo, ich wurde wegen einem kleinen Problem befragt konnte aber nicht die korrekte Lösung liefern und hoffe auf eure Unterstützung.
Nun zu dem Problem: Auf en Rand eines Kreises werden n Punkte beliebig verteilet und die Punkte untereinander verbunden. Durch welche Funktion lässt sich die Anzahl der Flächen die entsteht berechnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:51 Mo 19.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo, ich wurde wegen einem kleinen Problem befragt konnte
> aber nicht die korrekte Lösung liefern und hoffe auf eure
> Unterstützung.
>
> Nun zu dem Problem: Auf en Rand eines Kreises werden n
> Punkte beliebig verteilet und die Punkte untereinander
> verbunden. Durch welche Funktion lässt sich die Anzahl der
> Flächen die entsteht berechnen?
>
Sollen alle Punkte verbunden werden, entsteht das n-Eck mit allen Diagonalen.
Starte doch einfach mal mit ein paar konkreten Punkten.
Hast du n=2 Punkte, bekommst du A=2 Flächen.
Hast du n=3 Punke, bekommst du A=4 Flächen.
Für n=4 Punkte bekommst du A=8 Flächen
Für n=5 Punkte hast du A=16 Flächen.
Schau dir die Werte der A's mal scharf an. Erkennst du da etwas?
Wenn ja, solltest du mal versuchen, das ganze induktiv zu beweisen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 Mo 19.11.2012 | | Autor: | cleaner1 |
Das ist mir aufgefallen, aber weinwenig zu kurz gedacht. Wenn du nun einen Schritt weitergeht und n=6 wählt bekomme ich A=30.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:02 Mo 19.11.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Das ist mir aufgefallen, aber weinwenig zu kurz gedacht.
> Wenn du nun einen Schritt weitergeht und n=6 wählt bekomme
> ich A=30.
nein, dann bekommst Du A=32.
Gruß,
notinX
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Ich habe es nun noch mal gemalt mit 6 und mir ist aufgefallen das es Abhängig von der Lage der Punkte ist.
Hier eine Lösung mit 31 Flächen: http://s7.directupload.net/file/d/3079/hokh6xp6_png.htm
Gibt es vielleicht keine eindeutige Lösung?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 Mo 19.11.2012 | | Autor: | cleaner1 |
Ich habe eine Lösung: Binomialkoeffizienten
[mm] 1+\vektor{n \\ 4}+n*((n-1)/2)
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:53 Mo 19.11.2012 | | Autor: | cleaner1 |
Ist aber nur die maximale Anzahl
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Hallo cleaner,
Du hast Recht, das Problem ist doch komplizierter, als es auf den ersten Blick aussieht. Ab n=6 gibt es neue Dinge zu berücksichtigen, die für n<6 noch nicht auftreten.
Ich sehe tatsächlich nicht, wie man bei 6 Punkten mehr als 31 Flächen bekommen kann.
Bei n=7 komme ich nur auf maximal 57 Flächen.
> Ich habe eine Lösung: Binomialkoeffizienten
>
> [mm]1+\vektor{n \\
4}+n*((n-1)/2)[/mm]
Woher hast Du diese Formel? Sie sieht verführerisch gut aus. 
Für n<4 ist der Binomialkoeffizient Null.
Ich nenne die für n so berechnete Flächenzahl mal [mm] f_n.
[/mm]
Deine Formel ergibt:
[mm] f_1=1, f_2=2, f_3=4, f_4=8, f_5=16, f_6=31, f_7=57
[/mm]
Das sind alles die richtigen Werte.
Bei [mm] f_8 [/mm] bin ich mir aber schon unsicher. Ich finde so auf Anhieb keine Lösung mit mehr als 96 Flächen, aber das ist keine besonders systematische Aussage.
Deine Formel liefert [mm] f_8=1+70+28=99, [/mm] also immerhin die richtige Größenordnung und nicht zu klein.
Hast Du schon versucht, Deine Formel systematisch zu beweisen? Das ist kein so leichtes Unterfangen.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mi 21.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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