Kreis tangiert Gerade < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Fr 31.03.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Kreis durch die Punkte A und B, der die Gerade g berührt.
A(1|-6)
B(-3|2)
g: [mm] \vektor{-3\\4}*\vec{x} [/mm] - 37 |
Moin.
Die Frage kann ich nicht...
Gut, zwei Punkte liefert mit zwei Bedingungen für die Kreisgleichung
[mm] (x-m_1)^2+(y-m_2)^2 [/mm] = [mm] r^2
[/mm]
Das muss ich dann ja nur einsetzen...
I [mm] (1-m_1)^2+(-6-m_2)^2 [/mm] = [mm] r^2
[/mm]
II [mm] (-3-m_1)^2+(2-m_2)^2 [/mm] = [mm] r^2
[/mm]
Also ich würde mal versuchen (ich will das jetzt nicht machen, ist zu viel Tipperei und auch falsch, wahrscheinlich)
Ich berechne den Abstand des Mittelpunktes [mm] M(m_1,m_2) [/mm] durch
g: [mm] \vec{x} [/mm] - [mm] \overline{0M} [/mm] * richtungsvektor der geraden = 0
Den Richtungsvektoren müsste ich natürlich erst ermitteln.
und dadurch kriege ich dann irgendetwas heraus, sagen wir mal
3t + 26 [mm] +2m_1 [/mm] +3m_2t = 0 (keine Ahnung)
Und das was da eben herauskommt, nehme ich als Punkt F
Dann bilde ich |FM| und das ist dann das r. dann müsste ich nur noch [mm] m_1 [/mm] und [mm] m_2 [/mm] übrig haben... Und das t... Also funktioniert das nicht...
Schade, kann jemand dazu etwas sagen?
Grüße Phoney
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:26 Fr 31.03.2006 | | Autor: | goeba |
Hi,
> Bestimmen Sie den Kreis durch die Punkte A und B, der die
> Gerade g berührt.
>
> A(1|-6)
> B(-3|2)
>
> g: [mm]\vektor{-3\\4}*\vec{x}[/mm] - 37
Das ist keine Geradengleichung. Ich nehme mal an, dass da ein =0 fehlt.
> Moin.
> Die Frage kann ich nicht...
>
> Gut, zwei Punkte liefert mit zwei Bedingungen für die
> Kreisgleichung
>
> [mm](x-m_1)^2+(y-m_2)^2[/mm] = [mm]r^2[/mm]
>
> Das muss ich dann ja nur einsetzen...
>
> I [mm](1-m_1)^2+(-6-m_2)^2[/mm] = [mm]r^2[/mm]
>
> II [mm](-3-m_1)^2+(2-m_2)^2[/mm] = [mm]r^2[/mm]
>
> Also ich würde mal versuchen (ich will das jetzt nicht
> machen, ist zu viel Tipperei und auch falsch,
> wahrscheinlich)
>
> Ich berechne den Abstand des Mittelpunktes [mm]M(m_1,m_2)[/mm]
> durch
>
> g: [mm]\vec{x}[/mm] - [mm]\overline{0M}[/mm] * richtungsvektor der geraden =
> 0
>
> Den Richtungsvektoren müsste ich natürlich erst ermitteln.
>
> und dadurch kriege ich dann irgendetwas heraus, sagen wir
> mal
>
> 3t + 26 [mm]+2m_1[/mm] +3m_2t = 0 (keine Ahnung)
>
> Und das was da eben herauskommt, nehme ich als Punkt F
>
Das ist zu kompliziert. Wenn Du die ganze Geradengleichung durch die Länge des Normalenvektors teilst, bekommst Du die Hessesche Normalenform. Wenn Du dann einen beliebigen Punkt einsetzt, erhälst Du direkt den Abstand des Punktes zur Geraden.
Damit erhälst Du, wenn Du [mm] m_1 [/mm] und [mm] m_2 [/mm] einsetzt, eine weitere Gleichung für [mm] m_1, m_2 [/mm] und r und hast daher drei Gleichungen für drei Unbekannte, die Du lösen kannst.
Ein weiterer, geometrische Ansatz:
Wenn Du die Punkte nimmst, die gleichen Abstand zu den beiden Punkten haben, dann ist das die Mittelsenkrechte der beiden Punkte.
Wenn Du die Punkte nimmst, die den gleichen Abstand zu A und g haben, dann erhälst Du eine Parabel.
Der Schnittpunkt der Parabel mit der Mittelsenkrechten ist der gesuchte Mittelpunkt.
Ich hoffe, ich habe diesmal (wieder zu später Stunde) nicht zu viele Fehler gemacht, aber prinzipiell ist das auf jeden Fall richtig, Modulo Rechen / Schreibfehler
Viele Grüße,
Andreas
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