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| Aufgabe | Gesucht ist eine Gleichung des Kreises, der durch die Punkte A und B geht und den Radius r hat. Wie viele solcher Kreisee gibt es?
A(0/0), B(8/-2), r=17 |
hey leute,
Ich verzweifele an dieser Aufgabe... Ich wollte mir diese Aufgabe von meiner Nachhilfe erklären lassen aber die Lösung von ihm stört mich ein wenig... besonders wenn ich das Lösungsheft habe und als Lösung rauskommt:
"Es gibt zwei solcher Kreise. Die Mittelpunkte sind M1(0/-17) und M2(8/15)"
Wäre klasse wenn ihr mir helfen könntet!danke!
clafoutis
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:00 Fr 21.07.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo! Mein Bild sollte dir zeigen, warum es 2 solcher Kreise geben sollte. Ausrechnen könntest du das folgendermaßen:
Du setzt beide Punkte einmal in eine Kreisgleichung ein. Und dann müsstest du versuchen dieses Gleichungssystem zu lösen und würdest auf die Mittelpunkte beider Kreise kommen. Also:
[mm] x_{M}²+y_{M}²=289
[/mm]
[mm] (8-x_{M})²+(-2-y_{M})²=289
[/mm]
Schaffst du das alleine?
Hier das Bild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die roten Punkte sind die Punkte A und B.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Ja soweit bin ich auch gekommen. Diesen Weg konnte ich auch nachvollziehen aber der nächste Schritt macht mich ein wenig unsicher. Wenn man jetzt beide Gleichungen auflösen würde, würde man aber nicht trotzdem am Ende mit zwei variablen darstehen?
z.b. [mm] xm_{2}+ym_{2}=17_{2} [/mm] dann würde ja im nächsten schritt dies stehen
[mm] xm_{2}=17_{2}-ym_{2} [/mm] jetzt könnte man natürlich die wurzel ziehen
xm=17-ym und ab diesen punkt komme ich nicht weiter!
Ich habe jetzt versucht xm durch 17-ym zu ersetzen und dann in die andere gleichung einzusetzen und dann aufzulösen. Bei mir kam dann eben halt etwas total schiefes raus und nichts was der eigentlichen Lösung gleich aussieht. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. Danke für die Hilfe!
clafoutis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 Fr 21.07.2006 | | Autor: | Teufel |
Ja der Fehler ist mir zuerst auch passiert :)
Aber mach es folgendermaßen:
1. Setze erstmal beide Gleichungen gleich
2. [mm] x_{M}² [/mm] und [mm] y_{M}² [/mm] kürzen sich weg und stehen bleiben tut nur [mm] x_{M}, y_{M} [/mm] und ein paar Zahlen :)
3. Dann kannst du nach einer Variable [mm] (x_{M} [/mm] bzw. [mm] y_{M}) [/mm] umstellen und in eine der beiden Gleichung einsetzen (vorzugsweise die 1.) und bist fertig (nach ein bisschen Umstellarbeit ;) )
So schaffst du das eigentlich immer zu lösen, auch wenn du 2 "lange" Gleichungen hättest, wie die 2.
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Ok danke habe ich verstanden.... arrr was mich jetzt aufregt ist die tatsache das meine Nachhilfe, als wir die Aufgabe besprochen haben, gesagt hat das wenn man die beiden Gleichungen gleichsetzen würde, man nicht weiterkommen würde....
egal. ich bin jetzt auf (0/-17) gekommen. Wie bekommt man denn jetzt den anderen Mittelpunkt heraus? und könntest du vielleicht wenn es geht mir die Aufgabe vorrechnen so das ich meinen Rechenweg mit deinen vergleichen kann? wäre echt klasse! danke für alles (wird wohl Zeit dass ich meine Nachhilfe wechsel...)
clafoutis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:24 Fr 21.07.2006 | | Autor: | Teufel |
Naja vielleicht hatte er/sie mal einen Blackout ;) Also:
Gesucht ist eine Gleichung des Kreises, der durch die Punkte A und B geht und den Radius r hat. Wie viele solcher Kreise gibt es?
A(0/0), B(8/-2), r=17
[mm] x_{M}²+y_{M}²=289
[/mm]
[mm] (8-x_{M})²+(-2-y_{M})²=289
[/mm]
[mm] x_{M}²+y_{M}²=(8-x_{M})²+(-2-y_{M})²
[/mm]
[mm] x_{M}²+y_{M}²=x_{M}²-16x_{M}+64+4+4y_{M}+y_{M}²=x_{M}²-16x_{M}+y_{M}²+4y_{M}+68
[/mm]
[mm] 0=-16x_{M}+4y_{M}+68
[/mm]
Ich stelle mal einfach nach [mm] y_{M} [/mm] um
[mm] y_{M}=4x_{M}-17
[/mm]
Jetzt hast du also eine Möglichkeit gefunden, [mm] y_{M} [/mm] durch irgendwas mit [mm] x_{M} [/mm] auszudrücken. Eingesetzt in die 1. Gleichung ergibt das dann eine altbekannte p-q-Formel :) (die ich aber nicht nach traditioneller Mitternachtsformel lösen muss).
[mm] x_{M}²+y_{M}²=289 \Rightarrow x_{M}²+(4x_{M}-17)²=289
[/mm]
[mm] x_{M}²+16x_{M}²-136x_{M}+289=289
[/mm]
[mm] 17x_{M}²-136x_{M}=0
[/mm]
[mm] x_{M}²-8x_{M}=0
[/mm]
[mm] x_{M}(x_{M}-8)=0
[/mm]
[mm] x_{M1}=0
[/mm]
[mm] x_{M2}=8
[/mm]
Die beiden Punkte könntest du jeweils dann in [mm] y_{M}=4x_{M}-17 [/mm] einsetzen und du kriegst die dazu gehörigen y-Werte des Mittelpunkts.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Fr 21.07.2006 | | Autor: | riwe |
ein etwas anderer weg wäre: alle kreise durch A und B liegen auf der miitelSENKRECHTEN s der strecke AB. wie man leicht sieht hat s die gleichung
y = 4x - 17.
und jetzt weißt du noch - das ist das, was dir vermutlich probleme macht, M hat den abstand 17 von A (und B), liegt also (auch) auf einem kreis K um A mit radius 17::
x² + y² = 289.
K geschnitten mit s liefert das ersehnte, also die 2 gesuchten mittelpunkte.
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