Kreisgleichung Komplexe Zahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | <br>
Bestimmen Sie alle z[mm] \in[/mm]C mit [mm] \in \mid z+i \mid=\sqrt{5}* \mid z \mid[/mm] und fertigen Sie eine Skizze dieser Loesungsmenge an, dabei sind alle Achsenabschnitte in C zu bestimmen. |
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Hi, also ich habe ein Problem mit der Kreisgleichung, die rauskommt. Mein Radius entspricht nicht dem, der Musterloesung und ich finde keinen Fehler. Hier meine Rechnung:
[mm]\mid z+i \mid=\sqrt{5}* \mid z \mid[/mm]
[mm] \leftrightharpoons x^2 + (y+1)^2 = 5 * (x^2+y^2)
\leftrightharpoons x^2 + y^2 - \frac{1}{2}y = \frac{1}{4}
\leftrightharpoons x^2 + (y- \frac{1}{4})^2 = \frac{1}{4}
So laut Kreisgleichung ist das r in Normalform quadriert, also haette ich gesagt, dass
r = (1/2)^2
Laut Loesung soll
r = ( \sqrt{5}/4)^2 sein[/mm]
Das Problem ist: Ich habe keine Ahnung wieso und ich finde einfach keinen Ansatz, wie ich weiterkommen koennte.
Vielen herzlichen Dank im voraus!!!
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Hallo evilmaker,
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> Bestimmen Sie alle z[mm] \in[/mm]C mit [mm] \in \mid z+i \mid=\sqrt{5}* \mid z \mid[/mm] und
> fertigen Sie eine Skizze dieser Loesungsmenge an, dabei
> sind alle Achsenabschnitte in C zu bestimmen.
>
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> Hi, also ich habe ein Problem mit der Kreisgleichung, die
> rauskommt. Mein Radius entspricht nicht dem, der
> Musterloesung und ich finde keinen Fehler. Hier meine
> Rechnung:
>
> [mm]\mid z+i \mid=\sqrt{5}* \mid z \mid[/mm]
> [mm]\leftrightharpoons x^2 + (y+1)^2 = 5 * (x^2+y^2)
\leftrightharpoons x^2 + y^2 - \frac{1}{2}y = \frac{1}{4}
\leftrightharpoons x^2 + (y- \frac{1}{4})^2 = \frac{1}{4}
So laut Kreisgleichung ist das r in Normalform quadriert, also haette ich gesagt, dass
r = (1/2)^2
Laut Loesung soll
r = ( \sqrt{5}/4)^2 sein[/mm]
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> Das Problem ist: Ich habe keine Ahnung wieso und ich finde
> einfach keinen Ansatz, wie ich weiterkommen koennte.
>
> Vielen herzlichen Dank im voraus!!!
Ich kann in deinen Gleichungen nichts markieren ...
Wie kommst du von [mm] $x^2+(y+1)^2=5(x^2+y^2)$ [/mm] auf die nächste Zeile?
DAs stimmt doch nicht ...
Rechne das nochmal nach ....
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:01 Fr 21.06.2013 | | Autor: | evilmaker |
Wieso sollte das nicht stimmen?
[mm] \leftrightharpoons x^2 + (y+1)^2 = 5 * (x^2+y^2)
\leftrightharpoons x^2 + (y+1)^2 = 5x^2 + 5y^2
\leftrightharpoons x^2 + y^2 + 2y + 1 = 5x^2 + 5y^2
\leftrightharpoons -4x^2 -4y^2 + 2y +1 = 0
\leftrightharpoons -4x^2 - 4y^2 + 2y = -1
\leftrightharpoons -x^2 -y^2 + 1/2y = -1/4
\leftrightharpoons x^2 + y^2 - 1/2y = 1/4[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:07 Fr 21.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wieso sollte das nicht stimmen?
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> [mm]\leftrightharpoons x^2 + (y+1)^2 = 5 * (x^2+y^2)
\leftrightharpoons x^2 + (y+1)^2 = 5x^2 + 5y^2
\leftrightharpoons x^2 + y^2 + 2y + 1 = 5x^2 + 5y^2
\leftrightharpoons -4x^2 -4y^2 + 2y +1 = 0
\leftrightharpoons -4x^2 - 4y^2 + 2y = -1
\leftrightharpoons -x^2 -y^2 + 1/2y = -1/4
\leftrightharpoons x^2 + y^2 - 1/2y = 1/4[/mm]
das war okay. Danach entstand der Fehler; die quadratische Ergänzung
funktioniert so:
[mm] $$x^2+px+q=(x+\tfrac{p}{2})^2\red{\;-\;\tfrac{p^2}{4}}+q$$
[/mm]
In einer Gleichung kann man das auch so verpacken
[mm] $$x^2+px+q=t$$
[/mm]
[mm] $$\iff x^2+px+\frac{p^2}{4}+q=t+\frac{p^2}{4}$$
[/mm]
[mm] $$\iff {(x+\tfrac{p}{2})}^2+q=t+\frac{p^2}{4}\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 17:11 Fr 21.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Schachu,
> Hallo evilmaker,
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> > <br>
> > Bestimmen Sie alle z[mm] \in[/mm]C mit [mm] \in \mid z+i \mid=\sqrt{5}* \mid z \mid[/mm] und
>
> > fertigen Sie eine Skizze dieser Loesungsmenge an, dabei
> > sind alle Achsenabschnitte in C zu bestimmen.
> >
> > <br>
> > Hi, also ich habe ein Problem mit der Kreisgleichung,
> die
> > rauskommt. Mein Radius entspricht nicht dem, der
> > Musterloesung und ich finde keinen Fehler. Hier meine
> > Rechnung:
> >
> > [mm]\mid z+i \mid=\sqrt{5}* \mid z \mid[/mm]
> >
> [mm]\leftrightharpoons x^2 + (y+1)^2 = 5 * (x^2+y^2)
\leftrightharpoons x^2 + y^2 - \frac{1}{2}y = \frac{1}{4}
\leftrightharpoons x^2 + (y- \frac{1}{4})^2 = \frac{1}{4}
So laut Kreisgleichung ist das r in Normalform quadriert, also haette ich gesagt, dass
r = (1/2)^2
Laut Loesung soll
r = ( \sqrt{5}/4)^2 sein[/mm]
>
> >
> > Das Problem ist: Ich habe keine Ahnung wieso und ich
> finde
> > einfach keinen Ansatz, wie ich weiterkommen koennte.
> >
> > Vielen herzlichen Dank im voraus!!!
>
> Ich kann in deinen Gleichungen nichts markieren ...
>
> Wie kommst du von [mm]x^2+(y+1)^2=5(x^2+y^2)[/mm] auf die nächste
> Zeile?
>
> DAs stimmt doch nicht ...
doch - der Fehler entsteht genau eine Zeile später!
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcy,
> > Ich kann in deinen Gleichungen nichts markieren ...
> >
> > Wie kommst du von [mm]x^2+(y+1)^2=5(x^2+y^2)[/mm] auf die nächste
> > Zeile?
> >
> > DAs stimmt doch nicht ...
>
> doch - der Fehler entsteht genau eine Zeile später!
Jo, da hast du natürlich recht, ich habe die vermeintlich falsche Zeile auch genauso auf meinem Schmierzettel 
Bin wohl verrutscht.
Danke fürs Aufpassen!
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:04 Fr 21.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
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> Bestimmen Sie alle z[mm] \in[/mm]C mit [mm] \in \mid z+i \mid=\sqrt{5}* \mid z \mid[/mm] und
> fertigen Sie eine Skizze dieser Loesungsmenge an, dabei
> sind alle Achsenabschnitte in C zu bestimmen.
>
> <br>
> Hi, also ich habe ein Problem mit der Kreisgleichung, die
> rauskommt. Mein Radius entspricht nicht dem, der
> Musterloesung und ich finde keinen Fehler. Hier meine
> Rechnung:
>
> [mm]\mid z+i \mid=\sqrt{5}* \mid z \mid[/mm]
> [mm]\leftrightharpoons x^2 + (y+1)^2 = 5 * (x^2+y^2)
\leftrightharpoons x^2 + y^2 - \frac{1}{2}y = \frac{1}{4}
\leftrightharpoons x^2 + (y- \frac{1}{4})^2 = \frac{1}{4}[/mm]
Du hast Dich verrechnet:
[mm] $$x^2+(y+1)^2=5x^2+5y^2$$
[/mm]
[mm] $$\iff 4(x^2+y^2)=2y+1$$
[/mm]
[mm] $$\iff x^2+y^2-\frac{1}{2}y=\frac{1}{4}$$
[/mm]
ist ja noch okay. Jetzt aber:
[mm] $$\iff x^2+(y-\tfrac{1}{4})^2\red{\;-\frac{1}{16}\;}=\frac{1}{4}\,.$$
[/mm]
Damit kommt am Ende
[mm] $$r=\frac{\sqrt{5}}{4}$$
[/mm]
raus (und zwar ohne Quadrat!).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:27 Fr 21.06.2013 | | Autor: | evilmaker |
Mein Gott wie daemlich von mir. Tut mir leid eure Zeit mit so einem Fehler vegeudet zu haben!
Trotzdem tausend Dank fuer das Aufzeigen. Vermutlich haette ich den Wald vor lauter Baeumen nicht gesehen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:31 Fr 21.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Mein Gott wie daemlich von mir. Tut mir leid eure Zeit mit
> so einem Fehler vegeudet zu haben!
Quatsch - ich bin genauso froh, wenn mir jemand so einen Fehler zeigt.
Man macht sowas halt, und wenn's einem nicht auffällt, überliest man es
immer und immer und immer wieder mal!
> Trotzdem tausend Dank fuer das Aufzeigen. Vermutlich haette
> ich den Wald vor lauter Baeumen nicht gesehen.
Eben. Ist doch nur menschlich. Und aus Fehlern lernt man, von daher ist
das alles andere als Zeitvergeudung!
Gruß,
Marcel
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