Kreisgleichung bestimmen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:45 Mi 12.01.2005 | | Autor: | chnopf |
Ich habe diese Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt.
Die Aufgabe lautet:
Ein Kreis mit dem Mittelpunkt auf der Geraden
a: x - 2y - 1 = 0 berührt die Geraden
b: 3x + 4y + 22 = 0 und c: 4x - 3y + 46 = 0
Bestimme die Kreisgleichung.
Ich weiss, dass die Mittelpunktsgleichung
k: [mm] R^{2}=(x-u) ^{2}+(y-v)^{2}+(z-w)^{2} [/mm] lautet.
sowie die Kreisgleichung:
[mm] x^{2}+y^{2}+z^{2}+p_{1}x+p_{2}y+q [/mm] = 0.
Verwirrend scheint, dass drei Geraden vorhanden sind und ich weiss nicht, wie ich diese Formeln anwenden soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:13 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Zai-Ba |
Die Schwierigkeit scheint zu sein, den Punkt auf Gerade a zu finden, an dem gerade b und c gleich weit von der Geraden a entfernt sind. Dafür würde ich versuchen den Abstand A(x) -> b mit A(x) -> c gleichzusetzen.
Viel Erfolg, Zai-Ba
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:51 Do 13.01.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo chnopf
Wie wärs das nächste Mal mit einer freundlichen Begrüßung?!
> Ich habe diese Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt.
>
>
> Die Aufgabe lautet:
>
> Ein Kreis mit dem Mittelpunkt auf der Geraden
> a: x - 2y - 1 = 0 berührt die Geraden
> b: 3x + 4y + 22 = 0 und c: 4x - 3y + 46 = 0
>
> Bestimme die Kreisgleichung.
>
>
> Ich weiss, dass die Mittelpunktsgleichung
>
> k: [mm]R^{2}=(x-u) ^{2}+(y-v)^{2}+(z-w)^{2}[/mm] lautet.
Das ist die Gleichung für eine Kugel.
Die Gleichung eines Kreises in der x-y-Ebene ist
k: [mm]r^{2}=(x-u) ^{2}+(y-v)^{2} [/mm]
>
> sowie die Kreisgleichung:
>
> [mm]x^{2}+y^{2}+z^{2}+p_{1}x+p_{2}y+q[/mm] = 0.
>
>
korrekt: [mm]x^{2}+y^{2}+p_{1}x+p_{2}y+q[/mm] = 0.
> Verwirrend scheint, dass drei Geraden vorhanden sind und
> ich weiss nicht, wie ich diese Formeln anwenden soll.
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:18 Sa 15.01.2005 | | Autor: | chnopf |
vielen dank !!! :))
und tut mir leid, dass ich niemanden begrüsst habe, ich habe es in der eile wohl vergessen :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 Fr 14.01.2005 | | Autor: | dominik |
Was hältst Du davon, die Hessesche Normalform der beiden gegebenen Geraden zu bestimmen? Damit kann man ja den Abstand von einem Punkt zu einer Geraden berechnen. Ist jetzt dieser Punkt der Mittelpunkt des gesuchten Kreises, müssen die Abstände gleich sein und entsprechen dem Radius. Es geht so schön auf!
Also:
[mm] b: 3x+4y+22=0[/mm] und [mm]c: 4x - 3y + 46 = 0[/mm] sind die beiden Geraden, die vom Kreis berührt werden. Jetzt die Hessesche Normalformen:
[mm] b:\bruch{3x+4y+22}{ \wurzel{3^2+4^2}}=0
[/mm]
[mm] c:\bruch{4x-3y+46}{ \wurzel{4^2+3^2}}=0
[/mm]
Beide Terme einander gleich setzen; wenn M die Koordinaten x und y hat, entspricht diese dem Radius, also:
[mm] \bruch{3x+4y+22}{ \wurzel{3^2+4^2}}=\bruch{4x-3y+46}{ \wurzel{4^2+3^2}}
[/mm]
Mit dem gemeinsamen Nenner [mm] \wurzel{3^2+4^2}=5 [/mm] erweitern:
[mm]3x+4y+22=4x-3y+46 \gdw -x+7y-24=0 [/mm]
Diese Gleichung nun mit derjenigen von a kombinieren, da der Mittelpunkt auf a liegt:
[mm]-x+7y-24=0[/mm]
[mm]x-2y-1=0[/mm] Beide Gleichungen addieren gibt y=5;
in a eingesetzt ergibt sich x=11
Der Mittelpunkt des Kreises hat also die Koordinaten M(11/5).
Bleibt noch der Radius:
[mm] \bruch{3x+4y+22}{ \wurzel{3^2+4^2}}=\bruch{3*11+4*5+22}{ \wurzel{3^2+4^2}}=\bruch{75}{5}=15
[/mm]
Probe:
[mm] \bruch{4x-3y+46}{ \wurzel{4^2+3^2}}=\bruch{4*11-3*5+46}{ \wurzel{4^2+3^2}}=\bruch{75}{5}=15
[/mm]
Der gesuchte Kreis hat den Mittelpunkt M und den Radius r:
M(11/5), r=15
Damit lässt sich gemäss Deinem Ansatz die Kreisgleichung aufstellen.
Viele Grüsse
dominik
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