Kreisscheibe, Polarkoord. < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 Mi 18.01.2017 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | Es sei $ C = [mm] \partial [/mm] D$ der Rand des Gebietes in der oberen Halbebene von $ [mm] \IR^2$, [/mm] begrenzt von den Kreislinien $ [mm] x^2+y^2=1$ [/mm] und [mm] $x^2+y^2+4$. [/mm] Berechnen Sie das Kurvenintegral
$ [mm] \int_{C} [/mm] y^2dx+3xydy$ |
Hallo,
ich hatte kurz überlegt diese Frage in meinen alten Thread zu stellen aber der Übersichtlichkeit wegen dachte ich, dass eine neue Frage sinnvoller ist.
Wenn ich das richtig sehe, dann müsste der Integrationsbereich $ B$ wie folgt aussehen (siehe Anhang):
[Dateianhang nicht öffentlich]
(Entschuldigt bitte, ich habe vergessen das Bild um 90° zu drehen. Zu sehen ist die x-y-Achse)
Ich war schließlich soweit, dass nur noch $ [mm] \int_{C}F(x)dx [/mm] + F(y)dy [mm] =\int_B \left(\frac{\partial F(x)}{\partial y}-\frac{\partial F(y)}{\partial x}\right)(dx,y) [/mm] = [mm] \int_B [/mm] y(dx,y)$ zu lösen blieb.
Nun bietet sich ja ein Koordinatenwechsel zu Polarkoordinaten an. Stimmt denn meine Skizze des Integrationsbereichs $ B$ ? In der Lösung wird nämlich als Integrationsbereich nur der Kreis mit Radius $ r =2 $ herangezogen. Aber der Bereich wird ja noch von der Kreislinie mit Radius $ r = 1$ begrenzt.
Außerdem wird bei der Transformation $ y = r [mm] \cos \varphi [/mm] $ gewählt, so dass dort steht
$ [mm] \int_B [/mm] y(dx,y) = [mm] \int_0^2 \left(\int_{-\pi}^{\pi} r \cos \varphi)d\varphi\right)rdr [/mm] $
Das verstehe ich nicht. Warum hat das äußere Integral die Grenzen $ 0$ bis $2 $ und das innere $ [mm] -\pi$ [/mm] bis [mm] $\pi$. [/mm] Ersteres ergibt für mich keinen Sinn da meiner Auffassung nach der Integrationsbereich doch eher von $ 1$ bis $ 2 $ gehen müsste (da dort der Rand des Integrationsbereichs liegt) und zweiteres ergibt für mich keinen Sinn da wir doch keine ganze Kreisfläche beschreiben sondern nur die halbe Kreisfläche bzgl$ [mm] \varphi$. [/mm] Laut Aufgabenstellung soll ja die obere Halbebene des $ [mm] \IR^2$ [/mm] betrachtet werden.
Außerdem: Warum wird $ y = r [mm] \cos \varphi$ [/mm] transformiert? Es müsste doch $ y = r [mm] \sin \varphi$ [/mm] sein, oder nicht?
Habe ich vielleicht irgendwas grundlegend falsch verstanden oder liegt der Fehler in der Lösung?
Würde mich über Hinweise wie immer sehr freuen.
Vielen Dank an jeden der sich die Zeit nimmt.
LG,
ChopSuey
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:06 Mi 18.01.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. wenn da [mm] x^2+y^2=4 [/mm] steht ist dein Gebiet richtig.
ob du [mm] y=rcos(\phi) [/mm] oder [mm] y)rein(\phi [/mm] schreibt, beeinflusst nur den Integrationsbereich. für [mm] y=rcos\phi [/mm] geht [mm] \phi [/mm] von y>0 von [mm] -\pi/2 [/mm] bis [mm] +\pi\2
[/mm]
also sind die Grenzen an dem Integral falsch, das geht über die ganze Kreisscheibe, ausserdem muss für den Halbkreisring r von 0 bis 1 gehen
zu der Aufgabe psst also die Lösung nicht (ist falsch) vielleicht gehört sie zu einer anderen Aufgabe?
Gruß lesbart,
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:36 Mi 18.01.2017 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Leduart,
vielen Dank für Deine Hilfe! Du hast mir schon sehr geholfen. Ich hab gerade nochmal nachgesehen und tatsächlich war die Lösung bloß falsch nummeriert. Hab das vorhin partout nicht gesehen.
Ich meld mich bei Fragen nochmal. Vielen Dank soweit für die Rückmeldung.
LG,
ChopSuey
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