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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 Fr 12.06.2009 | | Autor: | Marius6d |
| Aufgabe | | Die Flächeninhalte zweier Kreise K1 mit Mittelpunkt M1 (-5/0) und K2 mit Mittelpunkt M2 (4/12) verhalten sich wie 4 : 1. Die beiden Kreisflächen besitzen einen einzigen gemeinsamen Punkt T. Bestimme T und die Gleichung der gemeinsamen Kreistangente in T. |
Also erstens habe ich eine Gleichung aufgestellt
A = [mm] \pi *r^2
[/mm]
Da ja A1 4mal grösser ist als A2 muss gelten:
A1 = 4* A2
[mm] \pi [/mm] * [mm] r1^2 [/mm] = 4 * [mm] \pi [/mm] * [mm] r2^2
[/mm]
[mm] \pi [/mm] rausgekürzt ergibt:
[mm] r1^2 [/mm] = 4 * [mm] r2^2
[/mm]
Dann Wurzel um zu vereinfachen:
r1 = 2 * r2
Dann zuerst die Punkte in Kreisgleichungen gefasst:
[mm] r1^2 [/mm] = [mm] (\vektor{x \\ y}-\vektor{-5 \\ 0})^2
[/mm]
[mm] r2^2 [/mm] = [mm] (\vektor{x \\ y}-\vektor{4 \\ 12})^2
[/mm]
Wurzel:
r1 = [mm] (\vektor{x \\ y}-\vektor{-5 \\ 0})
[/mm]
r2 = [mm] (\vektor{x \\ y}-\vektor{4 \\ 12})
[/mm]
führt zu:
[mm] (\vektor{x \\ y}-\vektor{-5 \\ 0}) [/mm] = [mm] 2*(\vektor{x \\ y}-\vektor{4 \\ 12})
[/mm]
Dann daraus lineares Gleichungssystem gemacht:
x + 5 = 2x - 8
y - 0 = 2y - 24
aufgelöst ergibt das:
x = 13 y = 24
Der Punkt T hat also die Koordinaten : T (13|24)
Ist das richtig?
Dann habe ich versucht eine Tangentengleichung zu erstellen und bin auf folgendes gekommen:
[mm] t:(\vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{-5 \\ 0}) [/mm] * [mm] \vektor{18 \\ 24}
[/mm]
Stimmt das so? Ich wusste hier nicht wie vorgehen ob ich hier irgendwie die Gleichungen von beiden Kreisen zusammenfügen muss oder sowas in der Richtung!
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> Die Flächeninhalte zweier Kreise K1 mit Mittelpunkt M1
> (-5/0) und K2 mit Mittelpunkt M2 (4/12) verhalten sich wie
> 4 : 1. Die beiden Kreisflächen besitzen einen einzigen
> gemeinsamen Punkt T. Bestimme T und die Gleichung der
> gemeinsamen Kreistangente in T.
> Also erstens habe ich eine Gleichung aufgestellt
>
> A = [mm]\pi *r^2[/mm]
>
> Da ja A1 4mal grösser ist als A2 muss gelten:
>
> A1 = 4* A2
>
> [mm]\pi[/mm] * [mm]r1^2[/mm] = 4 * [mm]\pi[/mm] * [mm]r2^2[/mm]
>
> [mm]\pi[/mm] rausgekürzt ergibt:
>
> [mm]r1^2[/mm] = 4 * [mm]r2^2[/mm]
>
> Dann Wurzel um zu vereinfachen:
>
> r1 = 2 * r2
Hallo,
der Radius von [mm] K_1 [/mm] ist also doppelt so groß wie der von [mm] K_2.
[/mm]
>
> Dann zuerst die Punkte in Kreisgleichungen gefasst:
>
> [mm]r1^2[/mm] = [mm](\vektor{x \\ y}-\vektor{-5 \\ 0})^2[/mm]
>
> [mm]r2^2[/mm] = [mm](\vektor{x \\ y}-\vektor{4 \\ 12})^2[/mm]
Soweit richtig.
Jetzt folgt eine mittlere Katastrophe, nein, eine echte Katastrophe:
>
> Wurzel:
>
> r1 = [mm](\vektor{x \\ y}-\vektor{-5 \\ 0})[/mm]
> r2 = [mm](\vektor{x \\ y}-\vektor{4 \\ 12})[/mm]
Was geschieht hier Entsetzliches? Ich sag's Dir:
Es ist [mm] (\vektor{x \\ y}-\vektor{-5 \\ 0})^2 [/mm] das Skalarprodukt zweier Vektoren, also eine Zahl.
Aus dieser Zahl ziehst Du die Wurzel und erhältst - einen Vektor!
Das kann nicht sein.
Ich würde hier völlig anders ans Werk gehen: Du weißt doch, daß der gesuchte Punkt zwischen [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] liegt.
Wie groß ist den nder Abstand zwischen diesen beiden Punkten?
Dann weißt Du noch, daß der Punkt von [mm] M_1 [/mm] doppelt so weit entfernt ist wie von [mm] M_2, [/mm] er teilt also die Strecke [mm] M_1M_2 [/mm] im Verhältnis 2:1.
Wie ich es sehe, braucht man hier nicht mit Kreisgleichungen herumzuwurschteln, was ja angenehm ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Fr 12.06.2009 | | Autor: | Marius6d |
scheisse.... stimmt so einfach ist, dass, haette wohl doch eine zeichnugn machen sollen
ok jetzt habe ich für die Koordinaten T = (6 1/3 |8) bekommen ist es richtig etz?
ich habe mich vorhin schon gewundert bei meiner Rechnung als ich die Radien ausgerechnet habe, dadurch waren die Flächen zwar im Verhältnis 4:1 aber r1 war 30 und r2 = 15.
Konnte ja nicht stimmen
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Hallo Marius!
> ok jetzt habe ich für die Koordinaten T = (6 1/3 |8)
> bekommen ist es richtig etz?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Was hast Du hier wie gerechnet?
Ich erhalte als x-Werte [mm] $x_T [/mm] \ = \ 1$ .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Fr 12.06.2009 | | Autor: | Marius6d |
Hmm, also die Strecke M1M2 bezeichne ich jetzt mal als AB der einfachheit halber. also M1=A M2 = B
AB = B-A
ergibt: [mm] \vektor{4 \\ 12} [/mm] - [mm] \vektor{-5 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{9 \\ 12}
[/mm]
Ok hier schon ersten Fehler bemerkt;)
Dann weiter
AT = AB * t/1+t
AT = [mm] \vektor{9 \\ 12} [/mm] * (2/3)
AT = [mm] \vektor{6 \\ 8}
[/mm]
AT = T-A
T = AT + A
T = [mm] \vektor{6 \\ 8} [/mm] + [mm] \vektor{-5 \\ 0}
[/mm]
T = [mm] \vektor{1 \\ 8}
[/mm]
Richtig? bin glaub zu überarbeitet Heute
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Hallo Marius!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das habe ich auch erhalten.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Fr 12.06.2009 | | Autor: | Marius6d |
Juhu endlich geschafft, dann noch zur Tangentengleichung:
[mm] (\vec{x}-\vec{m1})*(\vec{t}-\vec{m1}) [/mm] = [mm] r^2
[/mm]
[mm] (\vec{x}-\vektor{-5 \\ 0})*(\vektor{1 \\ 8}-\vektor{-5 \\ 0}) [/mm] = 100
[mm] (\vec{x}-\vektor{-5 \\ 0})*(\vektor{6 \\ 8}) [/mm] = 100
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> Juhu endlich geschafft, dann noch zur Tangentengleichung:
>
> [mm](\vec{x}-\vec{m1})*(\vec{t}-\vec{m1})[/mm] = [mm]r^2[/mm]
>
> [mm](\vec{x}-\vektor{-5 \\ 0})*(\vektor{1 \\ 8}-\vektor{-5 \\ 0})[/mm]
> = 100
>
>
>
> [mm](\vec{x}-\vektor{-5 \\ 0})*(\vektor{6 \\ 8})[/mm] = 100
Moment! Ich kenne ja diese ganzen fertigen Formeln nicht so gut...
Aber
wir haben doch jetzt den Punkt (1/8) als Berührpunkt der Kreise gefunden. Und wir wissen, daß [mm] \overrightarrow{M_1P}=\vektor{6\\8} [/mm] ein Normalenvektor der Tangente ist, richtig?
Wenn ich jetzt meine Kenntnisse über die Normalenform v. Geradengleichungen zusammenkrame, komme ich auf
[mm](\vec{x}-\vektor{1\\ 8})*(\vektor{6 \\ 8})[/mm] =0.
Aha. Man sieht, daß meine Gerade und Deine gleich sind. Stimmt also alles.
Gruß v. Angela
P.S.: Beachte bitte meinen Hinweis bzgl des Punktes, den Du falsch berechnet hast, der aber doch richtig ist.
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> scheisse.... stimmt so einfach ist, dass, haette wohl doch
> eine zeichnugn machen sollen
Naja, ich hab' mir jetzt mal den Punkt Deiner ursprünglichen Lösung angeschaut - und dabei einfach mal ignoriert, wie Du ihn bekommen hast.
Der Punkt ist ja so übel nicht: es ist [mm] r_1 [/mm] doppelt so groß wie [mm] r_2, [/mm] und es ist definitiv ein Berührpunkt. Es ist hier der Kreis [mm] K_2 [/mm] im Inneren von [mm] K_1, [/mm] und in dem berechneten Punkt berühren sie sich.
Also war meine Lösung etwas kurzsichtig,
man findet nämlich zwei passende Punkte bzw. Kreise.
Der gesuchte Punkt liegt auf der Geraden durch [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2, [/mm] und es verhalten sich M_1P:M_2P wie 2:1.
Aber der Zwang, daß der gesuchte Punkt zwischen den Mittelpunkten liegt, scheint mir nicht zu bestehen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:35 Fr 12.06.2009 | | Autor: | Marius6d |
Ok Vielen Dank für eure Antworten.
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