Kreisteilungspolynom < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:16 Do 15.07.2010 | | Autor: | oby |
Hallo Matheraum,
bin grad dabei, Algebra zu lernen un bin aber leider am folgendem Beweis hängengeblieben. Also hier der Beweis 1:1 kopiert aus meinem Skript:
Satz: Das Kreisteilungspolynom $ [mm] \Phi_n(x) [/mm] $ ist irreduzibel.
Beweis: Sei [mm] $\rho$ [/mm] eine primitive Einheitswurzel und sei $f$ das Minimalpolynom (welches irreduzibel ist). Zu zeigen ist [mm] $\Phi_n [/mm] = f$
Sei $ p $ eine Primzahl die $ n $ nicht teilt. also [mm] $f(\rho^p)=0 [/mm] $ [A]
Sei $g$ das Minimalpolynom von [mm] $\rho^p$. [/mm] Wir wollen zeigen, dass $f=g$.
Angenommen [mm] $f\not=g$, [/mm] Da [mm] $\rho^p\in\F_n$ [/mm] (das ist die Menge der primitiven n-ten Einheitswurzeln), also [mm] $\Phi_n(\rho^p)=0$ [/mm] [B]
also $ [mm] f|\Phi_n [/mm] $ und $g [mm] |\Phi_n$. [/mm] Da [mm] $f\not=g$ [/mm] gibt es $ h$ mit [mm] $\Phi_n=fgh$. [/mm] Da [mm] $\Phi_n\in\IZ[X]$ [/mm] folgt mit dem Gauß-Lemma, dass [mm] $f,g,h\in\IZ$ [/mm] [C] .....
Der Beweis geht noch weiter, aber den Rest versteh ich.
Zu meinem Problem in [A]: Wieso ist [mm] $f(\rho^p)=0$ [/mm] ? Ich hab mir das versucht zu erklären, komme aber immer nur darauf, dass man zu diesem Zeitpunkt schon wissen müsste, dass [mm] $f=\Phi_n$, [/mm] d.h ich würde das verstehen, wenn da dasselbe wie bei [B] stünde, da ja [mm] $\rho^p\in F_n$, [/mm] da ja p nicht n teilt.
Zu meinem Problem in [C]: Woraus soll das folgen??? Aus dem Gauß Lemma? Das sagt mir doch bloß, dass wenn $ f [mm] \in \IZ [/mm] [X] $ irreduzibel ist, dann auch $ f [mm] \in \IQ [/mm] [X] $ irreduzibel. Wie komme ich also nun darauf, dass §f,g,h [mm] \in \IZ [/mm] [X]$ ??.
Vielen Dank schon mal für eure Hilfe. Mir wollen Beweisschritte [A] und [C] einfach nicht eingehen..
MfG Oby
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:47 Do 15.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo Matheraum,
> bin grad dabei, Algebra zu lernen un bin aber leider am
> folgendem Beweis hängengeblieben. Also hier der Beweis 1:1
> kopiert aus meinem Skript:
>
> Satz: Das Kreisteilungspolynom [mm]\Phi_n(x)[/mm] ist irreduzibel.
> Beweis: Sei [mm]\rho[/mm] eine primitive Einheitswurzel und sei [mm]f[/mm]
> das Minimalpolynom (welches irreduzibel ist). Zu zeigen ist
> [mm]\Phi_n = f[/mm]
> Sei [mm]p[/mm] eine Primzahl die [mm]n[/mm] nicht teilt. also
> [mm]f(\rho^p)=0[/mm] [A]
> Sei [mm]g[/mm] das Minimalpolynom von [mm]\rho^p[/mm]. Wir wollen zeigen,
> dass [mm]f=g[/mm].
> Angenommen [mm]f\not=g[/mm], Da [mm]\rho^p\in\F_n[/mm] (das ist die Menge der
> primitiven n-ten Einheitswurzeln), also [mm]\Phi_n(\rho^p)=0[/mm]
> [B]
> also [mm]f|\Phi_n[/mm] und [mm]g |\Phi_n[/mm]. Da [mm]f\not=g[/mm] gibt es [mm]h[/mm] mit
> [mm]\Phi_n=fgh[/mm]. Da [mm]\Phi_n\in\IZ[X][/mm] folgt mit dem Gauß-Lemma,
> dass [mm]f,g,h\in\IZ[/mm] [C] .....
>
> Der Beweis geht noch weiter, aber den Rest versteh ich.
> Zu meinem Problem in [A]: Wieso ist [mm]f(\rho^p)=0[/mm] ?
Das ist eine gute Frage. Wenn man dies weiss, folgt ja sofort $f = g$, da $f$ irreduzibel ist und [mm] $\rho^p$ [/mm] als Nullstelle hat.
Kann es sein, dass der Beweis da einfach nur bloed aufgeschrieben ist? Dass also gezeigt werden soll, dass [mm] $\rho^p$ [/mm] Nullstelle von $f$ ist, und nicht gemeint ist, dass man bereits weiss dass es eine ist?
Hier wuerde der genaue (und vollstaendige, damit man sieht wie's weitergeht!) Beweis vielleicht helfen...
> Zu meinem Problem in [C]: Woraus soll das folgen??? Aus
> dem Gauß Lemma? Das sagt mir doch bloß, dass wenn $ f [mm]\in \IZ[/mm]
> [X] $ irreduzibel ist, dann auch $ f [mm]\in \IQ[/mm] [X] $
> irreduzibel. Wie komme ich also nun darauf, dass §f,g,h
> [mm]\in \IZ[/mm] [X]$ ??.
Eine Variante des Gauss-Lemmas sagt: gilt $f = g [mm] \cdot [/mm] h$ fuer $f, g, h [mm] \in \IQ[X]$, [/mm] $f [mm] \in \IZ[X]$, [/mm] so gibt es [mm] $\lambda, \mu \in \IQ^\ast$ [/mm] mit [mm] $\lambda \mu [/mm] = 1$ und [mm] $\lambda [/mm] g, [mm] \mu [/mm] h [mm] \in \IZ[X]$.
[/mm]
Schau dir mal den Beweis von eurem Gauss-Lemma an. Das zeigt doch: kann man $f [mm] \in \IZ[X]$ [/mm] ueber [mm] $\IQ$ [/mm] als Produkt zweier Polynome schreiben, so bereits ueber [mm] $\IZ$. [/mm] Das liefert (mit einem kleinen bisschen Aufwand) den Beweis fuer die von mir erwaehnte Variante.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:35 Fr 16.07.2010 | | Autor: | oby |
guten Morgen!
Also danke für die Erklärung von [C], hab mir den Beweis vom Gauß-Lemma nochmal durchgelesen und ist alles klar.
Zu [A], Hm, ich schreib mal den kompletten Beweis an:
Satz: Das Kreisteilungspolynom $ [mm] \Phi_n [/mm] $ ist irreduzibel.
Beweis: Sei $ [mm] \rho [/mm] $ eine primitive Einheitswurzel und sei $ f $ das Minimalpolynom (welches irreduzibel ist). Zu zeigen ist [mm] $\Phi_n=f [/mm] $.
Sei $ p $ eine Primzahl die $ m $ nicht teilt. also $ [mm] f(\rho^p)=0 [/mm] $ [A]
Sei $ g $ das Minimalpolynom von $ [mm] \rho^p [/mm] $. Wir wollen zeigen, dass $ f = g $.
Angenommen $ f [mm] \not= [/mm] g $ : Da $ [mm] \rho^p \in F_n [/mm] $ (das ist die Menge der primitiven n-ten Einheitswurzeln), also $ [mm] \Phi_n (\rho^p) [/mm] = 0 $[B]
also $ f | [mm] \Phi_n [/mm] $ und $ g | [mm] \Phi_n$. [/mm] Da $ f [mm] \not= [/mm] g $ gibt es $ h $ mit $ [mm] \Phi_n [/mm] = fgh $ . Da $ [mm] \Phi_n \in \IZ [/mm] [X] $ folgt mit dem Gauß-Lemma, dass $ f,g,h [mm] \in \IZ [/mm] [X] $[C] ....
Betrachte nun $ [mm] g(X^p) [/mm] $, dann besitzt $ [mm] g(X^p) [/mm] $ [mm] $\rho$ [/mm] als Nullstelle, also $ f | [mm] g(X^p) [/mm] $ etwa [mm] $g(X^p)=f(x)q(x) [/mm] $ für ein $q(x) [mm] \in \IQ [/mm] [X] $ Dann folgt mit dem Gauß-Lemma, dass $q(x) [mm] \in \IZ [/mm] [X]$.
Betrachte $ [mm] \IZ [/mm] [X] [mm] \to \IF_p [/mm] [X], [mm] \summe_{i=0}^{n} a_i X^{i} \to \summe_{i=0}^{n} \overline{a_i} X^{i} [/mm] $ mit [mm] $\overline{a_i} [/mm] = $ Restklasse modulo p.
Dies ist ein surjektiver Ringhomomorphismus. Sei $ u $ ein irreduzibler normierte Faktor von [mm] $\overline{f}$ [/mm] Es gilt (wegen Charakteristik p) [mm] $\overline{g}(X^p)=(\overline{g}(x))^p [/mm] $
Es gilt: $ u | [mm] \overline{f} [/mm] $ und $ [mm] \overline [/mm] f | [mm] \overline{g}(X^p)=\overline{g}(X)^p [/mm] $, also $ u | [mm] \overline{g}(X)^p \Rightarrow [/mm] u | [mm] \overline{g}$ [/mm] .
$ [mm] \Phi_n [/mm] | [mm] X^n-1 [/mm] , [mm] \Phi_n=fgh [/mm] $ also [mm] $X^n-1=fgh_2 [/mm] $ für ein [mm] $h_2 \Rightarrow X^n-\overline{1} [/mm] = [mm] \overline [/mm] {f} [mm] \overline [/mm] {g} [mm] h_2 [/mm] = [mm] u^2 [/mm] v $ für ein $v [mm] \in \IF_p [/mm] [X] $, also $ u| [mm] \overline{\Phi_n'}=\overline [/mm] {n} [mm] X^{n-1}$, [/mm] also $ u=x $. Dies ist ein Widerspruch zu $ u | [mm] X^n-\overline{1} [/mm] $, also ist $f=g$.
Jede primitive Einheitswurzel ist von der Form [mm] $\rho^m$ [/mm] mit $ggT(m,n)=1 $, also von der Form $ [mm] \rho^{(p_1...p_r)} [/mm] $ mit $ [mm] p_i [/mm] $ teilt nicht $ n $ für $ [mm] 1\le [/mm] i [mm] \le [/mm] r $ Induktion nach r liefert $ [mm] f(\rho^{(p_1....p_r)})=0 \Rightarrow \Phi_n [/mm] | f [mm] \Rightarrow \Phi_n [/mm] = f $ da [mm] $\Phi_n [/mm] $ normiert und $ f $ Minimalpolynom ist.
So, das wars. Ich hoffe, das hilft weiter mir weiterzuhelfen ;).
VlG Oby
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:54 Fr 16.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Oby!
> Zu [A], Hm, ich schreib mal den kompletten Beweis an:
>
> Satz: Das Kreisteilungspolynom [mm]\Phi_n[/mm] ist irreduzibel.
> Beweis: Sei [mm]\rho[/mm] eine primitive Einheitswurzel und sei [mm]f[/mm]
> das Minimalpolynom (welches irreduzibel ist). Zu zeigen ist
> [mm]\Phi_n=f [/mm].
> Sei [mm]p[/mm] eine Primzahl die [mm]m[/mm] nicht teilt. also [mm]f(\rho^p)=0[/mm]
> [A]
Bei [A] soll ein "Zu zeigen:" hin, denke ich, da man es gar nicht braucht, sondern beweist!
> Sei [mm]g[/mm] das Minimalpolynom von [mm]\rho^p [/mm]. Wir wollen zeigen,
> dass [mm]f = g [/mm].
> Angenommen [mm]f \not= g[/mm] : Da [mm]\rho^p \in F_n[/mm] (das ist die
> Menge der primitiven n-ten Einheitswurzeln), also [mm]\Phi_n (\rho^p) = 0 [/mm][B]
> also [mm]f | \Phi_n[/mm] und [mm]g | \Phi_n[/mm]. Da [mm]f \not= g[/mm] gibt es [mm]h[/mm]
> mit [mm]\Phi_n = fgh[/mm] . Da [mm]\Phi_n \in \IZ [X][/mm] folgt mit dem
> Gauß-Lemma, dass [mm]f,g,h \in \IZ [X] [/mm][C] ....
> Betrachte nun [mm]g(X^p) [/mm], dann besitzt [mm]g(X^p)[/mm] [mm]\rho[/mm] als
> Nullstelle, also [mm]f | g(X^p)[/mm] etwa [mm]g(X^p)=f(x)q(x)[/mm] für ein
> [mm]q(x) \in \IQ [X][/mm] Dann folgt mit dem Gauß-Lemma, dass [mm]q(x) \in \IZ [X][/mm].
> Betrachte [mm]\IZ [X] \to \IF_p [X], \summe_{i=0}^{n} a_i X^{i} \to \summe_{i=0}^{n} \overline{a_i} X^{i}[/mm]
> mit [mm]\overline{a_i} =[/mm] Restklasse modulo p.
> Dies ist ein surjektiver Ringhomomorphismus. Sei [mm]u[/mm] ein
> irreduzibler normierte Faktor von [mm]\overline{f}[/mm] Es gilt
> (wegen Charakteristik p)
> [mm]\overline{g}(X^p)=(\overline{g}(x))^p[/mm]
> Es gilt: [mm]u | \overline{f}[/mm] und [mm]\overline f | \overline{g}(X^p)=\overline{g}(X)^p [/mm],
> also [mm]u | \overline{g}(X)^p \Rightarrow u | \overline{g}[/mm] .
> [mm]\Phi_n | X^n-1 , \Phi_n=fgh[/mm] also [mm]X^n-1=fgh_2[/mm] für ein
> [mm]h_2 \Rightarrow X^n-\overline{1} = \overline {f} \overline {g} h_2 = u^2 v[/mm]
> für ein [mm]v \in \IF_p [X] [/mm], also [mm]u| \overline{\Phi_n'}=\overline {n} X^{n-1}[/mm],
> also [mm]u=x [/mm]. Dies ist ein Widerspruch zu [mm]u | X^n-\overline{1} [/mm],
> also ist [mm]f=g[/mm].
Hier hast du schliesslich $f = g$ gezeigt, also [mm] $f(\rho^p) [/mm] = 0$. Und bisher hast du [mm] $f(\rho^p) [/mm] = 0$ (also [A]) auch nirgends dafuer gebraucht.
> So, das wars. Ich hoffe, das hilft weiter mir
> weiterzuhelfen ;).
Ich denke schon 
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:15 Fr 16.07.2010 | | Autor: | oby |
Du hast Recht, braucht man sonst nicht. Dann ist das bloß unglücklich formuliert worden. Also vielen Dank, felix!
MfG, Oby
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