Kreuzprodukt < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:24 Do 15.06.2006 | | Autor: | Simpson25 |
Hi,
ich wollte mal fragen, ob es einen direkten Beweis gibt für das Kreuzprodukt oder ob man dies nur beweisen kann, indem man n * a = 0 und n * b = 0 setzt?
Ist dies richtig?
Meine zweite Frage ist, warum gerade das Multiplizieren der beiden Spannvektoren zu einem orthogonalen Vektor führt? Gibt es für dies einen speziellen Grund?
Wäre sehr nett, wenn ich einige Antworten bekomme! :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Schon mal Danke im voraus!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:07 Do 15.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Simpson
Das kommt drauf an, wie ihr das Kreuzprodukt eingeführt habt.
a) einfach durch die Formel?
b) die formel entwickelt, dadurch dass man eine Vektor [mm] \vec{c} [/mm] sucht, der auf [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] senkrecht steht und dessen Betrag die fläche des von [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] aufgespannten parallelogramms ist.
c) einfach erklärt, was das Kreuzprodukt von 2 Basisvektoren sein soll.
Ich weiss auch nicht, was Beweis mit n*a und n*b bedeutet, weil du nicht sagst, was n,a,b dabei ist?
Also erzähl uns, wie ihr das Kreuzprodukt eingeführt habt, und genauer, welchen Beweis du meinst. Vielleich kann dir dann jemand besser antworten.
Gruss leduart
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Wir haben das Kreuzprodukt bis jetzt noch gar nicht eingeführt. Ich muss zu diesem Thema ein Referat halten und der Klasse all dies erklären. Aus diesem Grund weiß ich nicht, ob es dafür ein richtigen Beweis gibt. Ich habe aber bis jetzt noch keinen gefunden und kann mir auch nicht richtig vorstellen, wie man dies beweisen kann
Mit a und b mein ich die zwei Vektoren, die eine Ebene aufspannen und n ist das Produkt aus a und b! a x b = n
Wird dadurch jetzt die Frage etwas deutlicher?
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Ja da hab ich schin geschaut aber nicht genau das gefunden was ich brauche
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:56 Fr 16.06.2006 | | Autor: | Funky24 |
hi...
...also wir haben das im LK auch nicht hergeleitet...also denke ich nicht, dass das von dir verlangt wird...ich denke, dass es wichtiger ist, dass du evtl. mit ner Grafik verdeutlichst, wie es entsteht und wozu es gut ist
Friederike
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 Fr 16.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Simpson
Ich hab immer noch nicht verstanden, was genau du zeigen willst!
Du hast dir doch sicher überlegt, wie du das Kreuzprodukt einführen willst:
als c= [mm] a*b*sin(\alpha) [/mm] mit [mm] \alpha [/mm] Winkel zwischen [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] vec{b},\vec{c} [/mm] senkrecht, oder über die Formel aus den Komponenten, oder als Flächeninhaltsvektor, der senkrecht auf der Fläche steht?
Wenn du das beschlossen hast sag genau was du dann beweisen willst.
Gruss leduart
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Hi
ich habe nun mein Referat sogut wie fertig doch mir fehlen wie schon gesagt noch diese beiden Fragen, die ich am besten jetzt nochmal erklären, damit es deutlich ist:
1.) Warum ergeben die beiden Spannvektoren a und b einer Ebene immer genau einen neuen Vektor, der orthogonal zu Ebene ist? Dafür muss es doch rechnerisch oder grafisch einen Grund geben oder nicht? Die ist mir einfach nicht klar!
2.) Ich muss die Formel beweisen:
a x b = (a1,a2,a3) x (b1,b2,b3) = (a2*b3-a3b2,a3*b1-a1*b3,a1*b2-a2*b1)
Ich hoffe, dass ihr jetzt, dass ihr meine Fragen und auch Probleme verstanden hab!
Wenn nicht einfach nochmal fragen, dann versuch ich es nochmal zu erklären!
Danke im Voraus
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Hallo Simpson und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Hi
> ich habe nun mein Referat sogut wie fertig doch mir fehlen
> wie schon gesagt noch diese beiden Fragen, die ich am
> besten jetzt nochmal erklären, damit es deutlich ist:
> 1.) Warum ergeben die beiden Spannvektoren a und b einer
> Ebene immer genau einen neuen Vektor, der orthogonal zu
> Ebene ist? Dafür muss es doch rechnerisch oder grafisch
> einen Grund geben oder nicht? Die ist mir einfach nicht
> klar!
weil das Kreuzprodukt so definiert ist!
Es gibt zwei Möglichkeiten, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren: Skalarprodukt ergibt eine Zahl (=Skalar) und Vektorprodukt ergibt einen Vektor, der die hübsche Eigenschaft hat, stets auf den beiden Vektoren, die man multipliziert, senkrecht zu stehen. iss sso.
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia
> 2.) Ich muss die Formel beweisen:
> a x b = (a1,a2,a3) x (b1,b2,b3) =
> (a2*b3-a3b2,a3*b1-a1*b3,a1*b2-a2*b1)
wie du dort nachlesen kannst, ist dies die Definition des Kreuzprodukts und daher nicht zu "beweisen".
Hast du dir die Seite, die Zwerglein schon genannt hat, eigentlich mal durchgelesen?!
Gruß informix
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Hi
aha und weil das so definiert ist, sind die immer orthogonal oder wie? Ich glaube meinem Lehrer würde solch eine Antwort nicht genügen. Er meinte zu mir, dass es einen Grund dafür gibt, dass die Multiplikation dieser beiden Spannvektoren zu diesem Normalvektor führt!
Ja habe mir die Seite durchgelesen, doch wurde nicht ganz schlau daraus. Kann man überhaupt das Kreuzprodukt bzw. Vektorprodukt beweisen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Fr 16.06.2006 | | Autor: | AT-Colt |
Dass der resultierende Vektor aus einem Kreuzprodukt senkrecht auf den Erzeugenden Vektoren steht, ergibt sich tatsächlich einfach aus der Weise, wie man das Kreuzprodukt bildet. Vielleicht reicht es Deinem Lehrer, wenn Du nachweist, dass der resultierende Vektor senkrecht auf beiden erzeugenden Vektoren steht:
[mm] $\vec{a}\times\vec{b}=\vec{c}=\vektor{a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1}$
[/mm]
[mm] $(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a}=a_{1}a_{2}b_{3}-a_{1}a_{3}b_{2}+a_{2}a_{3}b_{1}-a_{2}a_{1}b_{3}+a_{3}a_{1}b_{2}-a_{3}a_{2}b_{1}=0$
[/mm]
(Ihr wisst doch, dass das Skalarprodukt aus senkrechten Vektoren 0 ist?)
Analog mit [mm] \vec{b}.
[/mm]
greetz
AT-Colt
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Hi die zweite Grafik mit dem Skalarprodukt sieht ganz nützlich aus. Die werde ich wohl verwenden. Jedoch noch eine Frage zu der Grafik:
Da steht ja (a x b) a = ...
Ist mit dem a außerhalb der Klammer der neuentstandene Vektor gemeint(also der Normalvektor) oder wie kann ich das verstehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Sa 17.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Simpson
> Hi die zweite Grafik mit dem Skalarprodukt sieht ganz
> nützlich aus. Die werde ich wohl verwenden. Jedoch noch
> eine Frage zu der Grafik:
>
> Da steht ja (a x b) a = ...
> Ist mit dem a außerhalb der Klammer der neuentstandene
> Vektor gemeint(also der Normalvektor) oder wie kann ich das
> verstehen?
Nein! wenn man in einem Ausdruck 2 mal denselben Namen verwendet ist es derselbe Vektor und ausserdem gilt ( a x b) a = 0 ja nur, wenn a x b und a senkrecht stehen !
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:10 Sa 17.06.2006 | | Autor: | Tobi0909 |
> Kann man überhaupt das Kreuzprodukt bzw. Vektorprodukt beweisen?
Ganz klar: Nein.
Es ist so: das Kreuzprodukt ist genau so wie alle anderen Rechenoperationen ein definiertes Konstrukt. Sowas kann man an und für sich nicht beweisen. Diese Art der Multiplikation von Vektoren wurde aus dem einzigen Grund gewählt (man könnte sie auch auf eine x-beliebig andere Weise multiplizieren), weil dessen Eigenschaften sehr nützlich sind.
Die Eigenschaften kann man beweisen. AT-Colt hat dir eine schöne Möglichkeit gepostet, wie man z.B. die Orthogonalität des Ergebnisvektors nachweisen kann. Alle weiteren Eigenschaften mit Beweisen findest du bei wikipedia.
Das ist eine ganz grundsätzliche Vorgehensweise in der Mathematik. Man definiert irgendetwas, was momentan ziemlich sinnlos erscheint und beweist dann Eigenschaften, die ganz bestimmte Problemstellungen vereinfachen.
Eine Definition sagt in deinem Fall dabei nicht mehr als "dieses Vorgehen Vektoren zu multiplizieren" nennt man "Kreuzprodukt". Sowas kann man beim besten Willen nicht beweisen.
Ich verstehe, dass dir diese Antwort als ungenügend erscheint. Aber jede andere Herleitung übersteigt den Stoff des Mathe LKs bei weitem. Die genaueren Zusammenhänge sind rein theoretisch und lernt man erst im Grundstudium Mathematik.
Lass es einfach vom Himmel Fallen und zeige die Eigenschaften. Das ist genau das was dein Lehrer will. Glaub mir.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:51 Sa 17.06.2006 | | Autor: | Simpson25 |
Aha okay wenn ihr sagt, dass das für den Mathe-LK zu schwierig ist, dann lass ich es weg. Vielleicht kannst du mir noch ein paar Tipps geben, welche Eigenschaften und damit die verbundenen Beweise ich vorstellen kann. Das wäre für mich ganz hilfreich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:03 Sa 17.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Simpson
Sorum läuft das bei uns nicht, weil wir ja helfen aber nicht Referate gestalten wollen.
Also wenn du dein Konzept vorstellst, können wir vielleicht sagen, was fehlt, ungenau oder falsch ist.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:58 Sa 17.06.2006 | | Autor: | Simpson25 |
Hi,
habe nie gebeten, dass ihr mir das Referat macht. Das mach ich schon. Ich wollte nur paar Tipps, welche Eigenschaften besonders wichtig sind und welche eher nicht.
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