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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Mo 22.01.2007 | | Autor: | clwoe |
| Aufgabe | man gebe einen Vektor n an, der die Norm=1 hat und auf p und q senkrecht steht.
[mm] p=\vektor{3 \\ 0 \\ 4}, q=\vektor{-1 \\ 2 \\ -2} [/mm] |
Hi,
also, einen Vektor der senkrecht auf den anderen beiden steht erzeuge ich mit dem Kreuzprodukt, welches die Determinante einer 3 X 3 Matrix darstellt. Diesen habe ich schon berechnet und auch überprüft. Er lautet: [mm] n=\vektor{-8 \\ 2 \\ 6}. [/mm] Dieser Vektor hat aber nicht die Norm=1 sondern 10,2. Wie kann ich jetzt aber einen Vektor erzeugen, der auf den anderen beiden senkrecht steht aber die gewünschte Länge hat. Ich habe mir schon überlegt, das die Länge des erzeugten Vektors ja von seinen Koordinaten abhängt und die Norm ja die Summe der Quadrate der Vektorkomponenten ist und daraus dann die Wurzel gezogen. Aber da komme ich nicht so richtig weiter. Ich habe mir auch schon überlegt, es über ein Gleichungssystem zu machen und halt drei Gleichungen aufstellen, mit den Komponenten des gesuchten Vektors als Unbekannte und dieses dann zu lösen, jedoch ist dann erstens in der letzten Gleichung, nichts lineares da man ja Quadrate drin hat und zweitens ist dieses System dann nicht lösbar. Also irgendwie komme ich da nicht weiter.
Wäre nicht schlecht wenn mir jemand einen Tipp geben könnte, wie ich rangehen muss.
Gruß,
clwoe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:40 Mo 22.01.2007 | | Autor: | riwe |
> man gebe einen Vektor n an, der die Norm=1 hat und auf p
> und q senkrecht steht.
> [mm]p=\vektor{3 \\ 0 \\ 4}, q=\vektor{-1 \\ 2 \\ -2}[/mm]
> Er lautet: [mm]n=\vektor{-8 \\ 2 \\ 6}.[/mm]
> Dieser Vektor hat aber nicht die Norm=1 sondern 10,2.
>
[mm] \vec{n}_0=\frac{1}{\sqrt{8²+2²+6²}}\cdot \vec{n}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:48 Mo 22.01.2007 | | Autor: | clwoe |
Oh man,
ich hätte nicht gedacht, das ich so etwas einfaches übersehen könnte.
Da habe ich den Wald vor lauter Bäumen wohl übersehen.
Danke.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:09 Di 23.01.2007 | | Autor: | clwoe |
Hallo nochmal,
nun spannen die beiden Vektoren ein Parallelogramm auf. Ich weiss das die Determinante einer 2X2 Matrix den Flächeninhalt eines Parallelogramms in der Ebene wiedergibt und die Determinante einer 3X3 Matrix das Volumen des von den Zeilen der zugehörigen Matrix aufgespannten Quaders. Nur was mache ich jetzt, wenn ich die zwei Vektoren aus dem [mm] R^{3} [/mm] habe, dann brauche ich doch für die Determinante noch einen dritten Vektor, damit ich eine quadratische Matrix habe? Ich habe einfach als dritten Zeilenvektor für die Matrix v=(1 1 1) hergenommen, denn wenn man diesen nimmt, wird an der Determinante ja nichts verändert, und ich kann sie berechnen. Nur dann kommt als Flächeninhalt 0 heraus, aber ich habe mir die Ebene, also die Hälfte des Parallelogramms, also ein Dreieck zeichnen lassen am PC und man sieht eindeutig, das der Flächeninhalt dieses Dreiecks nicht 0 ist, also kann das Doppelte ja wohl auch nicht 0 sein. Also stimmt irgendwo was nicht, ich weiß nur nicht was.
Wäre echt nicht schlecht, wenn sich jemand meinem Problem mal annehmen könnte, vielleicht ist es ja wieder genauso leicht wie vorhin.
Gruß,
clwoe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:21 Di 23.01.2007 | | Autor: | riwe |
was willst du denn da berechnen????
das, was du da gemacht hast, ist käse!
oder auch nicht.
deine 3 vektoren sind linear abhängig, d.h. sie liegen in einer ebene und daher ist das spatvolumen = 0, also richtig gerechnet!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:43 Di 23.01.2007 | | Autor: | clwoe |
Hmm,
ich habe es nachgeprüft, was du gesagt hast und es stimmt. Aber können die beiden Vektoren nicht trotzdem ein Parallelogramm aufspannen? Dafür ist es doch egal, ob sie in einer Ebene liegen oder nicht. Ich weiß auch das für linear abhängige Vektoren die Determinante 0 ist, aber...? Also wie gesagt, ich hatte mit meiner Rechnung aufjedenfall recht, oder??? Wenn das stimmt was ich gemacht habe, bin ich zufrieden. Man sollte sich halt doch mehr auf die Rechenergebnisse verlassen, als auf irgendeine Zeichnung eines Computerprogrammes.
Gruß,
clwoe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:55 Di 23.01.2007 | | Autor: | riwe |
da bringst du ein bißchen äpfel und birnen durcheinander.
der BETRAG des kreuzproduktes von ZWEI vektoren repräsentiert die FLÄCHE des von ihnen (naturgemäß) in R2 aufgespannten parallelogramms.
der BETRAG des spatproduktes von DREI vektoren repräsentiert das VOLUMEN, das von ihnen aufgespannt wird. sind sie also linear abhängig, liegen in einer ebene, ist das volumen = 0.
(test auf lineare abhängigkeit)
daher auch meine frage: was du ausrechnen willst.
auf die obige aufgabe bezogen hast du
[mm]A(parallelogramm) = |\vec{n}| \not=0[/mm]
eine schöne gute nacht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:05 Di 23.01.2007 | | Autor: | clwoe |
Hi,
ich möchte die Fläche des Parallelogramms berechnen, das von den zwei Vektoren p und q im [mm] R^{3} [/mm] aufgespannt wird.
Angenommen, ich setze die beiden Vektoren in eine Matrix jeweils als Zeile ein, dann hätte ich ja eine 2x3 Matrix, die ja keine Determinante besitzt.
Das ist mein Problem.
Gruß,
clwoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:13 Di 23.01.2007 | | Autor: | riwe |
mit deinen vektoren [mm] \vec{p}=\vektor{3\\0\\4} [/mm] und [mm] \vec{q}=\vektor{-1\\2\\-2} [/mm]
hast du [mm] \vec{n}=\vec{p}\times\vec{q}=\vektor{-8\\2\\6}
[/mm]
und damit [mm]A=|\vec{n}|=\sqrt{8²+2²+6²}=\sqrt{108}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:26 Di 23.01.2007 | | Autor: | clwoe |
Hi,
alles klar, habe verstanden. Jetzt habe ich mich auch wieder dran erinnert, dass dies ja in meinem Buch ebenfalls steht. Flächeninhalt des Parallelogramms=Norm des Kreuzproduktes.
Schon wieder so was einfaches, das ich einfach nicht gesehen habe. Vielleicht ist es schon zu spät zum Mathe machen.
Also nochmal vielen Dank für die tolle Hilfe.
Gruß,
clwoe
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