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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:02 Fr 30.12.2011 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR^3 \to \IR, [/mm] (x,y,z) [mm] \mapsto (x+y+z-1)^2.
[/mm]
Für welche c [mm] \in \IR [/mm] ist [mm] f^{-1}(c) [/mm] eine reguläre Fläche? |
Hallo! Wäre nett wenn mir jemand einen Tipp geben könnte.. bin leicht am Verzweifeln:
Ich habe versucht einen regulären Wert c zu finden mit [mm] f^{-1}(c)=m [/mm] wobei aber stets [mm] \nabla [/mm] f(m) [mm] \not= [/mm] 0 ist.
Weiter darf m ja nur 2 Variablen haben da eine reguläre Fläche 2-dimensional ist. (oder?.. Also z.B. m=(x,y,0) oder (x,0,z) usw. )
[mm] f^{-1}(c) [/mm] wäre dann eine differenzierbare, 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit des [mm] \IR^3 [/mm] (nach Satz vom regulären Wert) also eine reguläre Fläche.
Ein solches c will mir aber einfach nicht einfallen.. habe ich das soweit überhaupt richtig verstanden?
Vielen Dank schonmal!!
Gruß
chesn
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> Sei f: [mm]\IR^3 \to \IR,[/mm] (x,y,z) [mm]\mapsto (x+y+z-1)^2.[/mm]
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> Für welche c [mm]\in \IR[/mm] ist [mm]f^{-1}(c)[/mm] eine reguläre
> Fläche?
> Hallo! Wäre nett wenn mir jemand einen Tipp geben
> könnte.. bin leicht am Verzweifeln:
>
> Ich habe versucht einen regulären Wert c zu finden mit
> [mm]f^{-1}(c)=m[/mm] wobei aber stets [mm]\nabla[/mm] f(m) [mm]\not=[/mm] 0 ist.
>
> Weiter darf m ja nur 2 Variablen haben da eine reguläre
> Fläche 2-dimensional ist. (oder?.. Also z.B. m=(x,y,0)
> oder (x,0,z) usw. )
>
> [mm]f^{-1}(c)[/mm] wäre dann eine differenzierbare, 2-dimensionale
> Untermannigfaltigkeit des [mm]\IR^3[/mm] (nach Satz vom regulären
> Wert) also eine reguläre Fläche.
>
> Ein solches c will mir aber einfach nicht einfallen.. habe
> ich das soweit überhaupt richtig verstanden?
>
> Vielen Dank schonmal!!
>
> Gruß
> chesn
Hallo chesn,
die Gleichung [mm] f(\vec{x})=c [/mm] hat je nach dem Wert von c
folgende Lösungsmengen:
[mm] \bullet [/mm] leere Menge, falls c<0
[mm] \bullet [/mm] Ebene $\ [mm] E=\{(x,y,z)\ |\ x+y+z=1\,\}$ [/mm] , falls c=0
[mm] \bullet [/mm] Vereinigungsmenge von zwei zueinander parallelen
Ebenen
$\ [mm] E_1\cup{E_2}=\{(x,y,z)\ |\ x+y+z=1\pm\sqrt{c}\,\}$ [/mm] , falls c>0
Jetzt musst du schauen, welche dieser Fälle unter die
dir vorliegende Definition einer "regulären Fläche" passen.
LG Al-Chw.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:10 Fr 30.12.2011 | | Autor: | chesn |
Blicke leider noch nicht so ganz durch...
Laut Definition ist eine reguläre Fläche im [mm] \IR^3 [/mm] eine differenzierbare 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit des [mm] \IR^3.
[/mm]
Ich tendiere zu der Ebene für c=0, aber kann das evtl jemand genauer ausführen? Würde es gerne auch verstehen. :)
Vielen Dank!
Gruß
chesn
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> Blicke leider noch nicht so ganz durch...
>
> Laut Definition ist eine reguläre Fläche im [mm]\IR^3[/mm] eine
> differenzierbare 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit des
> [mm]\IR^3.[/mm]
>
> Ich tendiere zu der Ebene für c=0, aber kann das evtl
> jemand genauer ausführen? Würde es gerne auch verstehen.
> :)
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
> chesn
Die Ebene, die man mit c=0 erhält, ist garantiert eine
reguläre Fläche.
Hast du mit einem Beweis dazu noch Probleme ?
Der Fall c>0 liefert jeweils zwei zueinander parallele
Ebenen. Nach der Definition des Begriffs der regulären
Fläche, die ich da sehe: ![[]](/images/popup.gif) reguläre Fläche , ist die
Vereinigungsmenge von parallelen Ebenen im [mm] \IR^3 [/mm]
ebenfalls eine reguläre Fläche.
Auch die leere Menge erfüllt die dort gegebene Definition !
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 So 01.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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