Kritische Stellen bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 Mo 16.02.2009 | | Autor: | Azarazul |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Finden Sie alle kritischen Punkte von $$ f(x,y) = 2x^2y+2y^2x+2xy+\bruch{2}{3}y^3+y^2 -4y $$
und bestimmten Sie deren Art (Max, Min, Sattelpunkt ) . |
Ok, die Bestimmung der Nullstellen gestaltete sich teils etwas tricky. Ich habe jetzt 4 Punkte: P1(-2,3) , P2(1, -3), P3(-2,0) und P4(1,0).
Jetzt möchte ich, indem ich alle \lambda_i in $$ \det \left( H - \lambda \cdot E \right ) $$ berechnen.
Aber das wäre ein gigantischer Rechenaufwand wenn ich das richtig sehe. ähhhmmm ... gibts da einige schlaue Tricks ?
Also ich rechne folgenden Ausdruck:
$$ (f_{xx} - \lambda_1)(f_{yy}-\lambda_2)-f_{yx}^2 = 0 $$
(mit dem Satz von Schwartz)
An den Vorzeichen der \lambda 's kann ich dann die Art der kritischen Stelle feststellen.
Ich kann diesen Ausdruck - er gibt sich ausgeschrieben zu:
$$ (4y - \lambda_1 ) ( 4x+4y+2 - \lambda_2 ) - (4x+4y+2)^2 = 0 $$
kaum allgemein auflösen. Ich erhalte immer sowas wie \lambda_1 = \lambda_1 ... Ist also wenig sinnvoll , da es insbesondere nichtmal was über das Vorzeichen aussagt.
Danke für die Hilfe !
|
|
| |
|
> Finden Sie alle kritischen Punkte von [mm]f(x,y) = 2x^2y+2y^2x+2xy+\bruch{2}{3}y^3+y^2 -4y[/mm]
>
> und bestimmten Sie deren Art (Max, Min, Sattelpunkt ) .
> Ok, die Bestimmung der Nullstellen gestaltete sich teils
> etwas tricky. Ich habe jetzt 4 Punkte: P1(-2,3) , P2(1,
> -3), P3(-2,0) und P4(1,0).
>
> Jetzt möchte ich, indem ich alle [mm]\lambda_i[/mm] in [mm]\det \left( H - \lambda \cdot E \right )[/mm]
> berechnen.
Hallo,
ob der Aufwand jetzt gigantisch ist, weiß ich nicht, immerhin ist H (ich nehme an: Hessematrix) nur eine 2x2-Matrix.
Die Hessematrix jedenfalls kannst Du hier gut gebrauchen.
Für die Definitheit der Hessematrix gibt es neben dem Eigenwertkriterium für die Definitheit symmetrischer Matrizen auch das Hauptminorenkriterium, vielleicht schaust Du Dir das mal an.
Wenn Du nicht zurecht kommst, poste bitte Deine Hessematrix mit.
Gruß v. Angela
>
> Aber das wäre ein gigantischer Rechenaufwand wenn ich das
> richtig sehe. ähhhmmm ... gibts da einige schlaue Tricks ?
> Also ich rechne folgenden Ausdruck:
>
> [mm](f_{xx} - \lambda_1)(f_{yy}-\lambda_2)-f_{yx}^2 = 0[/mm]
> (mit
> dem Satz von Schwartz)
> An den Vorzeichen der [mm]\lambda[/mm] 's kann ich dann die Art der
> kritischen Stelle feststellen.
>
> Ich kann diesen Ausdruck - er gibt sich ausgeschrieben zu:
>
> [mm](4y - \lambda_1 ) ( 4x+4y+2 - \lambda_2 ) - (4x+4y+2)^2 = 0[/mm]
>
> kaum allgemein auflösen. Ich erhalte immer sowas wie
> [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]\lambda_1[/mm] ... Ist also wenig sinnvoll , da es
> insbesondere nichtmal was über das Vorzeichen aussagt.
>
> Danke für die Hilfe !
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:50 Di 17.02.2009 | | Autor: | Azarazul |
Mhh ok, das mache ich hier zum allerersten male so ausführlich - das Problem ist, dass ich die eben angesprochenen Methoden ( Hauptminorenkriterium etc. ) nicht kenne. Ich muss mich also an die mir zur Verfügung stehenden Mittel halten, das ist eben das oben gennante.
@ Angela : H ist die Hessematrix, richtig.
$$ [mm] H_f [/mm] = [mm] \pmat{ 4y & 4y+4x+2 \\ 4y+4x+2 & 4y+4x+2 } [/mm] $$
Das heißt die determinante errechnet sich nach dem oben (s. erster Post) angeführten Ausdruck. Kann mir jemand einen Weg aufzeigen die Lambdas zu bestimmen ? ich bin etwas unsicher gerade...
Muss ich das jetzt für die gefunden kandidaten (nullstellen des gradienten) durchprobieren ? Da ergibt sich ein wenig schöner Ansatz.
Nach den Lambda's aufgelöst, ist:
$$ [mm] \lambda_1 [/mm] = - [mm] \bruch{ (4x+4y+2)^2}{4x+4y+2- \lambda_2 } [/mm] +4y $$
bzw.
$$ [mm] \lambda_2 [/mm] = - [mm] \bruch{(4x+4y+2)^2 }{4y-\lambda_1} [/mm] +4x+4y+2 $$
Daraus folgt dann: $ [mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_1 [/mm] $ ... ???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Di 17.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Warum setzt Du denn nicht die von Dir gefundenen Punkte
P1(-2,3) , P2(1, -3), P3(-2,0) und P4(1,0)
jeweils in die Hessematrix ein und entscheidest , ob Min , Max, oder sonst was vorliegt ????
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Di 17.02.2009 | | Autor: | Azarazul |
Wie entscheide ich das ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Di 17.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Was habt Ihr denn gelernt ?
Ist die Hessematrix in [mm] (x_0,y_0) [/mm] positiv def. , so liegt ein Min vor........
Hattet Ihr sowas nicht ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Di 17.02.2009 | | Autor: | Azarazul |
Nein, Definitheit ist mir als Stichwort bekannt, aber mehr auch nicht.
Wir haben uns zunächst folgenden Ausdruck angeschaut:
$$ [mm] \sum_{i,j}^n [/mm] { [mm] \bruch{ \partial^2 f(\vec{p}) }{ \partial x_i \partial x_j } v_i v_j} [/mm] $$
(n = Dimension )
und haben dann nach den Vorzeichen der [mm] v_{i} [/mm] , [mm] v_j [/mm] entschieden ...
Aber dann habe ich das obige Verfahren mit Hilfe der Determinantenrechnung kennen gelernt, blöd nur, dass das Beispiel bedeutend einfacher und einsichtiger war, als die folgende Aufgabe.
[Frage oben noch offen....]
|
|
|
| |
|
Hallo,
wenn Du die Hessematrix hast, und wissen willst, welcher Art Dein kritischer Punkt [mm] P_1(-2,3) [/mm] ist, setzt Du den erstmal in die Hessematrix ein.
Dann besteht die nur noch aus Zahlen, und das hat man im allgemeinen ja lieber.
Dann subtrahierst Du auf der Hauptdiagonalen jeweils [mm] \lambda, [/mm] bestimmst die Determinante und guckst, für welche [mm] \lambda [/mm] die Det. =0 wird.
Diese Werte sind die Eigenwerte, und an ihnen kann man mit etwas Glück die Art der kritischen Stelle ablesen:
sind beide Eigenwerte >0, hat man ein Minimum,
sind beide <0 , hat man ein Maximum,
ist einer <0 und einer >0 , dann ist's ein Sattelpunkt.
Wenn man eine Null bei den Eigenwerten dabei hat, hat man Pech gehabt, dann muß man sich was anderes einfallen lassen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:18 Di 17.02.2009 | | Autor: | Azarazul |
Alles klar - ich weiß jetzt wo mein Fehler lag. In meinen Aufzeichnungen ist die Rede von [mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] \lambda_2 [/mm] - als ob es bestimmt genau 2 gäbe. Aber es wird allgemein nach "den [mm] \lambda [/mm] " bzw. ihren Vorzeichenmöglichkeiten gesucht !
Ich probiere mich, ansonsten melde ich mich ...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Di 17.02.2009 | | Autor: | Azarazul |
Also. Ihr müsst nicht alles kontrollieren ;) - aber wenn jemand zumindest drauf schauen würde, wäre ich sehr dankbar !
Für P1 ( -2, 3 ) habe ich, dass alle [mm] \lambda [/mm] > 0 sein müssen, da
$$ ( 12 [mm] -\lambda)(6-\lambda [/mm] ) - 36 = 0 $$
$$ [mm] \gdw \lambda_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{18}{2} \underbrace{ \pm \sqrt{ ( \bruch{18}{2})^2 -36} }_{ \text{mit } \sqrt{45} < 9} [/mm] >0 $$
der Rest analog. Geht das so ???
Und nur zum Verständnis - denn wie ihr seht, ich habe von der Theorie dahinter bisher nicht so viel gehört - es gibt in diesem Fall zwei mögliche Eigenwerte, ansonsten können es aber mehr sein ( hat sicher mit der anzahl an Dimensionen zu tun...) ? Und man muss stets für alle argumentieren, bzw. beachten ob es Möglichkeiten für unterschiedliche Vorzeichen gibt.
|
|
|
| |
|
> Also. Ihr müsst nicht alles kontrollieren ;) - aber wenn
> jemand zumindest drauf schauen würde, wäre ich sehr dankbar
> !
>
> Für P1 ( -2, 3 ) habe ich, dass alle [mm]\lambda[/mm] > 0 sein
> müssen, da
>
> [mm]( 12 -\lambda)(6-\lambda ) - 36 = 0[/mm]
> [mm]\gdw \lambda_{1,2} = \bruch{18}{2} \underbrace{ \pm \sqrt{ ( \bruch{18}{2})^2 -36} }_{ \text{mit } \sqrt{45} < 9} >0 [/mm]
>
> der Rest analog. Geht das so ???
Hallo,
ja, so geht das.
>
> Und nur zum Verständnis - denn wie ihr seht, ich habe von
> der Theorie dahinter bisher nicht so viel gehört - es gibt
> in diesem Fall zwei mögliche Eigenwerte, ansonsten können
> es aber mehr sein ( hat sicher mit der anzahl an
> Dimensionen zu tun...) ?
Bei 2x2-Matrizen gibt es zwei nicht notwendigerweise verschiedene Eigenwerte, und deren Vorzeichen schaut man sich an.
(Bei 3x3-HesseMatrizen sind es dann 3 usw.)
Gruß v. Angela
|
|
|
|
