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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:39 Sa 19.06.2004 | | Autor: | Kira-1 |
Hallo!
Habe leider meine Matheabiklausur total in den Sand gesetzt und muss nun in die Nachprüfung. Als Tipp hat mir mein Lehrer gesagt, ich solle mir ansehen, wann ich die Krümmungsfunktion nehme und warum dann nicht die zweite Ableitung.
Leider habe ich keine Ahnung. Weiß mittlerweile ein wenig über Rechts- und Linkskrümmung Bescheid und wie ich mit deren Hilfe von Ableitung zur Funktion und wieder zurckkomme. Aber was ist eine Krümmungsfunktion? Und wozu brauche ich die? Oder ist das das?
Schon mal danke für die Hilfe!
LG, katrin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 Sa 19.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo katrin
Wenn du bestimmen willst, wo eine Wendetangente an den Graphen deiner Funktion ist, dann brauchst du dazu die 2. Ableitung. Die 2. Ableitung gibt nur an, wie stark sich die Aenderung der Funktion selbst ändert. Natürlich ist die Kürve gekrümmt, falls die 2. Ableitung nicht $0$ ist.
Wenn du aber die Krümmung der Kurve brauchst, weil du zum Beispiel an dieser Stelle die Kurve durch einen Kreis annähern willst, dann brauchst du dazu eben die Krümmung. Die Krümmung ist der Kehrwert des Krümmungsradius.
Die 2. Ableitung ist, wie durch aus meiner obigen Bemerkung ableiten kannst, für die Berechnung der Krümmung nötig, aber sie genügt nicht. Die Formel für die Krümmung $k$ ist nämlich:
[mm] $k=\bruch{y''}{(1+y'^{2})^{3/2}}$
[/mm]
An dieser Formel siehst du ganz schon, dass $y''$ notwendigerweise [mm] $\not [/mm] = 0$ sein muss, wenn eine Krümmung [mm] $\not [/mm] = 0$ existieren soll, dass aber auch bei grösserem Betrag der 1. Ableitung die Krümmung kleiner wird. Wo die 1. Ableitung $0$ ist, ist bei gegebener 2. Ableitung die Krümmung am grössten. Vergleiche zum Beispiel bei der Parabel [mm] $y=x^{2}$, [/mm] dass dort die 2. Ableitung den konstanten Wert $2$ hat, die Krümmung aber offensichtlich beim Scheitelpunkt der Parabel maximal ist.
Und wie gesagt: um den Krümmungsradius zu berechnen, nimmst du einfach den Kehrwert der Krümmung. Ein Kreis mit Radius $r$ hat die Krümmung [mm] $\bruch{1}{r}$ [/mm] 
Hoffentlich genügen dir diese Erklärungen. Wenn noch etwas unklar ist, dann fragst du einfach wieder nach!
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 So 20.06.2004 | | Autor: | Kira-1 |
Hallo!
Erstmal vielen lieben Dank für die schnelle Hilfe. Hat mir bis jetzt schon sehr viel geholfen, aber zwei Fragen hätte ich noch...
Kurz nach der Formel für die Krümmung haben Sie geschrieben dass y'' Null sein muss, wenn eine Krümmung ungleich Null existieren soll. Ist es möglich, dass das ungleich heißen soll? Denn wenn y'' Null wird, wird doch die Krümmung automatisch Null. Oder habe ich da was noch nicht richtig verstanden?
Und dann würde ich gerne noch wissen, wo ich den Kreis ansetzten muss. Wenn ich die Krümmung der Normalparabel im Punkt Null bestimmen will, beträgt diese mit Hilfe der Formel 2, also ergibt sich für den Krümmungsradius 1/2. Wo aber setze ich jetzt diesen Kreis an? Also wo müsste ich dann mit dem Zirkel einstechen? Kann man das auch berechnen?
Danke&liebe Grüße, Katrin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 So 20.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Katrin
> Hallo!
> Erstmal vielen lieben Dank für die schnelle Hilfe. Hat mir
> bis jetzt schon sehr viel geholfen, aber zwei Fragen hätte
> ich noch...
> Kurz nach der Formel für die Krümmung haben Sie
Im Matheraum sagen wir uns in der Regel "du"
> geschrieben dass y'' Null sein muss, wenn eine Krümmung
> ungleich Null existieren soll. Ist es möglich, dass das
> ungleich heißen soll? Denn wenn y'' Null wird, wird doch
> die Krümmung automatisch Null. Oder habe ich da was noch
> nicht richtig verstanden?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja, da habe ich mich verschrieben. Ich habe es jetzt in der 1. Antwort korrigiert! Sorry! Du hast es richtig verstanden.
> Und dann würde ich gerne noch wissen, wo ich den Kreis
> ansetzten muss. Wenn ich die Krümmung der Normalparabel im
> Punkt Null bestimmen will, beträgt diese mit Hilfe der
> Formel 2, also ergibt sich für den Krümmungsradius 1/2. Wo
> aber setze ich jetzt diesen Kreis an? Also wo müsste ich
> dann mit dem Zirkel einstechen? Kann man das auch
> berechnen?
>
Der Kreis hat also den Radius $1/2$. Der Kreis muss ja die Parabel nach Möglichkeit berühren. Das bringt man zustande, wenn man den Kreismittelpunkt an einem Ort wählt, der senkrecht auf die Kurventangente steht. Die Kurventangente deiner Normalparabel [mm] $y=x^{2}$ [/mm] ist die $x$-Achse, womit der Kreismittelpunkt auf der $y$-Achse liegt. Somit würde ich den Kreismittelpunkt an der Stelle $(x,y) = [mm] (0,\bruch{1}{2}$ [/mm] setzen. Der Abstand des Mittelpunktes von der Kurve wird ja gerade durch den Kreisradius vorgegeben!
Mit lieben Grüssen
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