Krümmung ln < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Mo 30.04.2012 | | Autor: | testtest |
| Aufgabe | Für welchem Punkt P ist der Betreag der Krümmung ein Maximum?
f(x)=lnx |
Also als erte die die Krümmung bestimmen:
k(x) = [mm] \bruch{-x^{-2}}{(1+x^{-2})^{\bruch{3}{2}}}
[/mm]
k'(x)!=0
k'(x)= [mm] \bruch{2x^{-3}\wurzel{(1+x^{-2})^3}-3x^-^5\wurzel{1+x^{-2}}}{(1+x^{-2})^{3}}
[/mm]
und jetzt wird es schwer:
Ich behaupte jetzt mal, dass
[mm] (1+x^{-2})^{3} [/mm] = [mm] 1+\bruch{3}{x^2}+\bruch{3}{x^4}+\bruch{1}{x^6}
[/mm]
niemals zu null werden kann.
Ist ja schon mal gut.
Aufjedenfall habe ich es dann mit dem Satz des Nullproduktes versucht:
[mm] 2x^{-3}\wurzel{(1+x^{-2})^3}-3x^-^5\wurzel{1+x^{-2}} [/mm] =
[mm] \wurzel{(1+x^{-2})}*(2x^{-3}\wurzel{(1+x^{-2})^2}-3x^-^5
[/mm]
was auch dazu für das [mm] wurzel{(1+x^{-2})} [/mm] nicht zu Null werden kann.
[mm] x^{-3} [/mm] ausklammern brachte entsprechend auch keinen Erfolg.
Die exkate Lösung ist [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
Wie kommt man auf die Lösung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:21 Mo 30.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast $ [mm] 2x^{-3}\wurzel{(1+x^{-2})^2}-3x^-^5 [/mm] =0$ mult mit [mm] x^5 [/mm] da x=0 ja keine Nst ist, lass die Wurzel aus quadrat weg und du hast ne sehr einfache Gl.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:03 Di 01.05.2012 | | Autor: | testtest |
okay habe ich gemacht
[mm] 2x^2\wurzel{(1-x^-^2)^2}=3
[/mm]
aber die Begründung weshalb ich die Wurzel weglassen kann, verstehe ich noch nicht ganz.
[mm] 2x^2=3 [/mm] -> [mm] x=\pm\wurzel{\bruch{3}{2}}
[/mm]
was bekanntlich nicht die richtige Lösung ist.
Wo hält sich der Fehler versteckt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:11 Di 01.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> okay habe ich gemacht
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> [mm]2x^2\wurzel{(1-x^-^2)^2}=3[/mm]
Da sollte stehen: [mm]2x^2\wurzel{(1+x^{-2})^2}=3[/mm]
>
> aber die Begründung weshalb ich die Wurzel weglassen kann,
> verstehe ich noch nicht ganz.
Leduart meinte: [mm] \wurzel{(1+x^{-2})^2}=1+x^{-2}
[/mm]
FRED
>
> [mm]2x^2=3[/mm] -> [mm]x=\pm\wurzel{\bruch{3}{2}}[/mm]
>
> was bekanntlich nicht die richtige Lösung ist.
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> Wo hält sich der Fehler versteckt?
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